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    已知i.m.n是正整数.且1＜i≤m＜n. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.

    (1)证明：niA＜miA；(2)证明：(1+m)n＞(1+n)m

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    已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.

    (1)证明: niA＜miA 

    (2)证明: (1+m)n＞(1+n)m

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    已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.
    (1)证明：niA＜miA；(2)证明：(1+m)n＞(1+n)m

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    已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.
    (1)证明: niA＜miA 
    (2)证明: (1+m)n＞(1+n)m

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    已知i、m、n是正整数，且1＜i≤m＜n．

    （1）证明n iA＜m iA；   （2）证明（1＋m）n＞（1＋n）m．

     

     

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    难点磁场

    证法一：(分析综合法）

    欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，即证ab≤6ec8aac122bd4f6e或ab≥8.

    ∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立

    ∵1=a+b≥26ec8aac122bd4f6e，∴ab≤6ec8aac122bd4f6e，从而得证.

    证法二：(均值代换法)

    设a=6ec8aac122bd4f6e+t1，b=6ec8aac122bd4f6e+t2.

    ∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜6ec8aac122bd4f6e，|t2|＜6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e

    显然当且仅当t=0，即a=b=6ec8aac122bd4f6e时，等号成立.

    证法三：(比较法）

    ∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥26ec8aac122bd4f6e，∴ab≤6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e

    证法四：(综合法)

    ∵a+b=1， a＞0，b＞0，∴a+b≥26ec8aac122bd4f6e，∴ab≤6ec8aac122bd4f6e.

    6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e

    证法五：(三角代换法）

    ∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，6ec8aac122bd4f6e)

    6ec8aac122bd4f6e2

    歼灭难点训练

    一、1.解析：令6ec8aac122bd4f6e=cos2θ，6ec8aac122bd4f6e=sin2θ，则x=asec2θ，y=bcsc2θ，∴x+y=asec2θ+bcsc2θ=a+b+atan2θ+bcot2θ≥a+b+26ec8aac122bd4f6e.

    答案：a+b+26ec8aac122bd4f6e

    2.解析：由0≤|a－d|＜|b－c|6ec8aac122bd4f6e(a－d)2＜(b－c)26ec8aac122bd4f6e(a+b)2－4ad＜(b+c)2－4bc?

    ∵a+d=b+c，∴－4ad＜－4bc，故ad＞bc.

    答案：ad＞bc

    3.解析：把p、q看成变量，则m＜p＜n，m＜q＜n.

    答案：m＜p＜q＜n

    二、4.(1)证法一：a2+b2+c2－6ec8aac122bd4f6e=6ec8aac122bd4f6e(3a2+3b2+3c2－1)

    =6ec8aac122bd4f6e［3a2+3b2+3c2－(a+b+c)2］

    =6ec8aac122bd4f6e［3a2+3b2+3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc］

    =6ec8aac122bd4f6e［(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2］≥0  ∴a2+b2+c2≥6ec8aac122bd4f6e

    证法二：∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2

    ∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1  ∴a2+b2+c2≥6ec8aac122bd4f6e

    证法三：∵6ec8aac122bd4f6e∴a2+b2+c2≥6ec8aac122bd4f6e

    ∴a2+b2+c2≥6ec8aac122bd4f6e

    证法四：设a=6ec8aac122bd4f6e+α，b=6ec8aac122bd4f6e+β，c=6ec8aac122bd4f6e+γ.

    ∵a+b+c=1，∴α+β+γ=0

    ∴a2+b2+c2=(6ec8aac122bd4f6e+α)2+(6ec8aac122bd4f6e+β)2+(6ec8aac122bd4f6e+γ)2

    =6ec8aac122bd4f6e+6ec8aac122bd4f6e (α+β+γ)+α2+β2+γ2

    =6ec8aac122bd4f6e+α2+β2+γ2≥6ec8aac122bd4f6e

    ∴a2+b2+c2≥6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e

    ∴原不等式成立.

    证法二：6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e

    ∴6ec8aac122bd4f6e≤6ec8aac122bd4f6e＜6

    ∴原不等式成立.

    5.证法一：由x+y+z=1，x2+y2+z2=6ec8aac122bd4f6e，得x2+y2+(1－x－y)2=6ec8aac122bd4f6e，整理成关于y的一元二次方程得：

    2y2－2(1－x)y+2x2－2x+6ec8aac122bd4f6e=0，∵y∈R，故Δ≥0

    ∴4(1－x)2－4×2(2x2－2x+6ec8aac122bd4f6e)≥0，得0≤x≤6ec8aac122bd4f6e，∴x∈［0，6ec8aac122bd4f6e］

    同理可得y，z∈［0，6ec8aac122bd4f6e］

    证法二：设x=6ec8aac122bd4f6e+x′，y=6ec8aac122bd4f6e+y′，z=6ec8aac122bd4f6e+z′，则x′+y′+z′=0，

    于是6ec8aac122bd4f6e=(6ec8aac122bd4f6e+x′)2+(6ec8aac122bd4f6e+y′)2+(6ec8aac122bd4f6e+z′)2

    =6ec8aac122bd4f6e+x′2+y′2+z′2+6ec8aac122bd4f6e (x′+y′+z′)

    =6ec8aac122bd4f6e+x′2+y′2+z′2≥6ec8aac122bd4f6e+x′2+6ec8aac122bd4f6e=6ec8aac122bd4f6e+6ec8aac122bd4f6ex′2

    故x′2≤6ec8aac122bd4f6e，x′∈［－6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e］，x∈［0，6ec8aac122bd4f6e］，同理y，z∈［0，6ec8aac122bd4f6e］

    证法三：设x、y、z三数中若有负数，不妨设x＜0，则x2＞0，6ec8aac122bd4f6e=x2+y2+z2≥x2+6ec8aac122bd4f6e＞6ec8aac122bd4f6e，矛盾.

    x、y、z三数中若有最大者大于6ec8aac122bd4f6e，不妨设x＞6ec8aac122bd4f6e，则6ec8aac122bd4f6e=x2+y2+z2≥x2+6ec8aac122bd4f6e=x2+6ec8aac122bd4f6e=6ec8aac122bd4f6ex2－x+6ec8aac122bd4f6e

    =6ec8aac122bd4f6ex(x－6ec8aac122bd4f6e)+6ec8aac122bd4f6e＞6ec8aac122bd4f6e；矛盾.

    故x、y、z∈［0，6ec8aac122bd4f6e］

    6ec8aac122bd4f6e

    ∵上式显然成立，∴原不等式得证.

    7.证明：(1)对于1＜i≤m，且A6ec8aac122bd4f6e =m?…?(m－i+1)，

    6ec8aac122bd4f6e，

    由于m＜n，对于整数k=1，2，…，i－1，有6ec8aac122bd4f6e，

    所以6ec8aac122bd4f6e

    (2)由二项式定理有：

    (1+m)n=1+C6ec8aac122bd4f6em+C6ec8aac122bd4f6em2+…+C6ec8aac122bd4f6emn，

    (1+n)m=1+C6ec8aac122bd4f6en+C6ec8aac122bd4f6en2+…+C6ec8aac122bd4f6enm，

    由(1)知miA6ec8aac122bd4f6e＞niA6ec8aac122bd4f6e (1＜i≤m6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e，而C6ec8aac122bd4f6e=6ec8aac122bd4f6e

    ∴miCin＞niCim(1＜m＜n6ec8aac122bd4f6e

    ∴m0C6ec8aac122bd4f6e=n0C6ec8aac122bd4f6e=1，mC6ec8aac122bd4f6e=nC6ec8aac122bd4f6e=m?n，m2C6ec8aac122bd4f6e＞n2C6ec8aac122bd4f6e，…，

    mmC6ec8aac122bd4f6e＞nmC6ec8aac122bd4f6e，mm+1C6ec8aac122bd4f6e＞0，…，mnC6ec8aac122bd4f6e＞0，

    ∴1+C6ec8aac122bd4f6em+C6ec8aac122bd4f6em2+…+C6ec8aac122bd4f6emn＞1+C6ec8aac122bd4f6en+C2mn2+…+C6ec8aac122bd4f6enm，

    即(1+m)n＞(1+n)m成立.

    8.证法一：因a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以

    (a+b)3－23=a3+b3+3a2b+3ab2－8=3a2b+3ab2－6

    =3［ab(a+b)－2］=3［ab(a+b)－(a3+b3)］=－3(a+b)(a－b)2≤0.

    即(a+b)3≤23，又a+b＞0，所以a+b≤2，因为26ec8aac122bd4f6e≤a+b≤2，

    所以ab≤1.

    证法二：设a、b为方程x2－mx+n=0的两根，则6ec8aac122bd4f6e，

    因为a＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0，且Δ=m2－4n≥0                                         ①

    因为2=a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)=(a+b)［(a+b)2－3ab］=m(m2－3n)

    所以n=6ec8aac122bd4f6e                                                                                                    ②

    将②代入①得m2－4(6ec8aac122bd4f6e)≥0，

    即6ec8aac122bd4f6e≥0，所以－m3+8≥0，即m≤2，所以a+b≤2，

    由2≥m 得4≥m2，又m2≥4n，所以4≥4n，

    即n≤1，所以ab≤1.

    证法三：因a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以

    2=a3+b3=(a+b)(a2+b2－ab)≥(a+b)(2ab－ab)=ab(a+b)

    于是有6≥3ab(a+b)，从而8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=?

    (a+b)3，所以a+b≤2，(下略）

    证法四：因为6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e≥0，

    所以对任意非负实数a、b，有6ec8aac122bd4f6e≥6ec8aac122bd4f6e

    因为a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以1=6ec8aac122bd4f6e≥6ec8aac122bd4f6e，

    ∴6ec8aac122bd4f6e≤1，即a+b≤2，(以下略）

    证法五：假设a+b＞2，则

    a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)=(a+b)［(a+b)2－3ab］＞(a+b)ab＞2ab，所以ab＜1，

    又a3+b3=(a+b)［a2－ab+b2］=(a+b)［(a+b)2－3ab］＞2(22－3ab)

    因为a3+b3=2，所以2＞2(4－3ab)，因此ab＞1，前后矛盾，故a+b≤2(以下略)

     

     

     


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