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    已知函数的导函数．(Ⅰ)求实数a.b.c.d, 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知函数 的定义域是 ， 是 的导函数，且 在上恒成立
    （Ⅰ）求函数 的单调区间。
    （Ⅱ）若函数 ，求实数a的取值范围
    （Ⅲ）设 是 的零点 ， ，求证： ．

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    已知函数f(x)=
    12
    x2+x    ，g（x）=2a2lnx+（a+1）x．
    （1）求过点（2，4）与曲线y=f（x）相切的切线方程；
    （2）如果函数g（x）在定义域内存在导数为零的点，求实数a的取值范围；
    （3）设h（x）=f（x）-g（x），求函数h（x）的单调递增区间．

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    已知函数f（x）=ax2+lnx（x＞0），g（x）=2x（x∈R），函数h（x）=f（x）-g（x）在区间（0，+∞）上为增函数．
    （1）求实数a的取值范围；
    （2）设f′（x）、h′（x）分别是f（x）、h（x）的导函数，若方程h′（x）=0在区间（0，+∞）上有唯一解，
    ①令函数mn（x）=[f′（x）]n-f（xn+
    1
    xn
    ），其中n∈N*且n≥2.2函数y=mn（x）在区间（0，+∞）上的最小值；
    ②求证：对任意的正实数x，都有
    n
    i=2
    1
    mi(x)
    ＜
    5
    6
    ．

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    已知函数f（x）=2lnx-x2（x＞0）．
    （1）求函数f（x）的单调区间与最值；
    （2）若方程2xlnx+mx-x3=0在区间[
    1e
    ，e]    内有两个不相等的实根，求实数m的取值范围；  （其中e为自然对数的底数）
    （3）如果函数g（x）=f（x）-ax的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，求证：g'（px1+qx2）＜0（其中，g'（x）是g（x）的导函数，正常数p，q满足p+q=1，q＞p）

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    已知函数f（x）=x3-ax2-x+a，其中a为实数．
    （1）求导数f′（x）；
    （2）若f′（-1）=0，求f（x）在[-2，3]上的最大值和最小值；
    （3）若f（x）在（-∞，-2]和[3，+∞）上都是递增的，求a的取值范围．

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    一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．

    1-5：DBADC； 6-10：BACDC； 11-12：BC.

    二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．

    13．1或； 14．-4； 15．1； 16．6．

    三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．

    17．解：（Ⅰ）∵，

    ∴，????????????????????????? 3分

    ∴．??????????????????????? 6分

    （Ⅱ）∵且，

    ∴，∴，当且仅当时取＂＝＂．??? 8分

    ∵，∴，???????????? 10分

    ∴，当且仅当时取＂＝＂．

    故△ABC面积取最大值为．?????????????????????? 12分

     

    18．解：（Ⅰ）设袋中有黑球n个，则每次取出的一个球是黑球的概率为，    3分

    设“连续取两次，都是黑球”为事件A，∴，???????? 5分

    ∴，∴．?????????????????????? 6分

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知，每次取出一个球，取到红球的概率是．???????? 7分

    设“连续取4次球，取到红球恰为2次”为事件B，“连续取4次球，取到红球恰为3次”为事件C，

    ∴；?????????????????????? 8分

    ．???????????????????????? 10分

    ∴取到红球恰为2次或3次的概率为．

    故连续取4次球，取到红球恰为2次或3次的概率等于.?????????? 12分

     

    19．（Ⅰ）证明：∵四边形AA1C1C是菱形，∴AA1＝A1C1＝C1C＝CA＝1，∴△AA1B是等边三角形，设O是AA1的中点，连接BO，则BO⊥AA1．???????????????????????????????? 2分

    ∵侧面ABB1A1⊥AA1C1C，∴BO⊥平面AA1C1C，菱形AA1C1C面积为，知C到AA1的距离为，，∴△AA1C1是等边三角形，且C1O⊥AA1，又C1O∩BO=O．

    ∴AA1⊥面BOC1，又BC1Ì面BOC1．∴AA1⊥BC1．??????????????? 4分

    （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA、OC1、OB两两垂直，以O为原点，建立如图空间直角坐标系，则，，，，．则，，，．??????????????????????????? 5分

    设是平面ABC的一个法向量，

    则即

    令，则．设A1到平面ABC的距离为d．

    ∴．????????????????????? 8分

    （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ABC的一个法向量是，又平面ACC1的一个法向量．∴．???????????????? 11分

    ∴二面角B－AC－C1的余弦值是．??????????????????? 12分

     

    20．解：（Ⅰ）证明：时，，；?????????????? 1分

    时，，所以，???????????? 2分

    即数列是以2为首项，公差为2 的等差数列．????????????? 3分

    ∴，，???????????????????? 4分

    当时，，当时，．???????? 5分

    ∴ ???????????????????????? 6分

    （Ⅱ）当时，，结论成立．????????????? 7分

    当时，?????? 8分

    ＝

    ????????????????????? 10分

    ．???????????????????????? 11分

    综上所述：．????????????????? 12分

     

    21．解：（Ⅰ）∵，∴．比较系数得，，，．????????????????????????????????? 1分

    ∴，，，???????????????????? 2分

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知，

    ，令，得或或．

    x

    1

    2

    +

    0

    -

    0

    +

    0

    -

    ㄊ

    ㄋ

    ㄊ

    ㄋ

    ∴函数有极大值，，极小值．????? 4分

    ∵函数在区间上存在极值，

    ∴或或???????????? 5分

    解得或或．

    故实数．??????????????????? 6分

    （Ⅲ）函数的图象与坐标轴无交点，有如下两种情况：

    （?）当函数的图象与x轴无交点时，必须有：

    即??????????? 7分

    而，函数的值域为，

    ∴解得．???????????????????? 8分

    （?）当函数的图象与y轴无交点时，必须有：

    即而有意义，    9分

    ∴即解得．??????????? 10分

    由（?）、（?）知，p的范围是，

    故实数p的取值范围是．???????????????????? 12分

    22．解：（Ⅰ）设，，，，

    ，，，，

    ．?????????????????????? 2分

    ∵，∴，∴，∴．???????? 4分

    则N(c，0)，M(0，c)，所以，

    ∴，则，． ?????????????????? 5分

    ∴椭圆的方程为．?????????????????????? 6分

    （Ⅱ）∵圆O与直线l相切，则，即,????????? 7分

    由消去y得．

    ∵直线l与椭圆交于两个不同点，设，

    ，

    ∴，，?????????????????? 8分

    ∴，

    由，?????????????????? 9分

     

    ，．??????????????????????? 10分

    ．??????????? 11分

    （或）．

    设，则，，，

    ∴S关于u在区间单调递增，又，，???????? 13分

    ∴．???????????????????????????? 14

     


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