题目列表(包括答案和解析)
数列
首项
，前
项和
满足等式
（常数
，
……）
（1）求证：为等比数列；
（2）设数列的公比为
，作数列
使
（……），求数列的通项公式.
（3）设
，求数列
的前项和
.
【解析】第一问利用由得
两式相减得
故
时，
从而
又
即
，而
从而
故
第二问中，
又
故为等比数列，通项公式为
第三问中，
两边同乘以
利用错位相减法得到和。
（1）由得
两式相减得
故时，
从而 ………………3分
又 即，而
从而 故
对任意
，为常数，即为等比数列………………5分
（2） ……………………7分
又故为等比数列，通项公式为………………9分
（3）
两边同乘以
………………11分
两式相减得
已知递增等差数列
满足：
，且
成等比数列．
（1）求数列的通项公式
；
（2）若不等式
对任意
恒成立，试猜想出实数
的最小值，并证明．
【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的运用以及数列求和的运用。第一问中，利用设数列公差为
，
由题意可知
，即
，解得d，得到通项公式，第二问中，不等式等价于
，利用当
时，
；当
时，
；而
，所以猜想，的最小值为
然后加以证明即可。
解：（1）设数列公差为，由题意可知，即，
解得
或
（舍去）． …………3分
所以，
． …………6分
（2）不等式等价于，
当时，；当时，；
而，所以猜想，的最小值为． …………8分
下证不等式
对任意恒成立．
方法一：数学归纳法．
当时，
，成立．
假设当
时，不等式
成立，
当
时，
，
…………10分
只要证 
，只要证 
，
只要证 
，只要证 
，
只要证 
，显然成立．所以，对任意，不等式恒成立．…14分
方法二：单调性证明．
要证
只要证 
，
设数列
的通项公式
， …………10分
， …………12分
所以对
，都有
，可知数列为单调递减数列．
而
，所以
恒成立，
故的最小值为．
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