(2)△ABC的周长为.面积为S.其内切圆的半径为r.则【查看更多】

（1）已知，如图1，△ABC的周长为l，面积为S，其内切圆圆心为0，半径为r，求证：r=

2S

l

；
（2）已知，如图2，△ABC中，A、B、C三点的坐标分别为A（-3，O）、B（3，0）、C（0，4）．若△ABC内心为D．求点D坐标；
（3）与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆，叫旁切圆，圆心叫旁心．请求出条件（2）中的△ABC位于第一象限的旁心的坐标．

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（1）已知，如图1，△ABC的周长为l，面积为S，其内切圆圆心为0，半径为r，求证： $数学公式$ ；
（2）已知，如图2，△ABC中，A、B、C三点的坐标分别为A（-3，O）、B（3，0）、C（0，4）．若△ABC内心为D．求点D坐标；
（3）与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆，叫旁切圆，圆心叫旁心．请求出条件（2）中的△ABC位于第一象限的旁心的坐标．

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（1）已知，如图1，△ABC的周长为l，面积为S，其内切圆圆心为0，半径为r，求证：

；
（2）已知，如图2，△ABC中，A、B、C三点的坐标分别为A（-3，O）、B（3，0）、C（0，4）．若△ABC内心为D．求点D坐标；
（3）与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆，叫旁切圆，圆心叫旁心．请求出条件（2）中的△ABC位于第一象限的旁心的坐标．

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三角形的内切圆
（1）定义：与三角形各边都

相切

的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心叫三角形的

内心

．
（2）三角形的内心是三角形

三角平分线

的交点，它到三角形

三边

的距离相等，都等于该三角形

内切圆的半径

．
（3）如图，若△ABC的三边分别为AB=c，BC=a，AC=b，其内切圆⊙O分别切BC、CA、AB于D、E、F．则AF=AE=

b+c-a

2

b+c-a

2

，BD=BF=

c+b-a

2

c+b-a

2

，CD=CE=

a+b-c

2

a+b-c

2

．∠BOC与∠A的关系是

∠BOC=90°+

1

2

∠A

∠BOC=90°+

1

2

∠A

，∠EDF与∠A的关系是

∠EDF=90°-

1

2

∠A

∠EDF=90°-

1

2

∠A

△ABC的面积S与内切圆半径r的关系是

r=

2s

a+b+c

r=

2s

a+b+c

．
（4）直角三角形的外接圆半径等于

斜边长的一半

，内切圆半径等于

面积的2倍与周长的商

．

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阅读材料：如图，△ABC的周长为l，内切圆O的半径为r，连结OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形，用S_△ABC表示△ABC的面积

∵S_△ABC＝S_△OAB＋S_△OBC＋S_△OCA

又∵S_△OAB＝AB·r，S_△OBC＝BC·r，S_△OCA＝CA·r

∴S_△ABC＝AB·r＋BC·r＋CA·r＝l·r(可作为三角形内切圆半径公式)

(1)理解与应用：利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径；

(2)类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆，如图)且面积为S，各边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；

(3)拓展与延伸：若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a₁、a₂、a₃、…a_n，合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由)．

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