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    13．若实数.满足关系:.则+的最大值是 . 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.

    （Ⅰ）求实数的值； 

    （Ⅱ）求在区间上的最大值；

    （Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由.

    【解析】第一问当时，，则。

    依题意得：，即    解得

    第二问当时，，令得，结合导数和函数之间的关系得到单调性的判定，得到极值和最值

    第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

    不妨设，则，显然

    ∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

    即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

    若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

    （Ⅰ）当时，，则。

    依题意得：，即    解得

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知，

    ①当时，，令得

    当变化时，的变化情况如下表：

    0

    —

    0

    +

    0

    —

    单调递减

    极小值

    单调递增

    极大值

    单调递减

    又，，。∴在上的最大值为2.

    ②当时, .当时, ,最大值为0；

    当时, 在上单调递增。∴在最大值为。

    综上，当时，即时，在区间上的最大值为2；

    当时，即时，在区间上的最大值为。

    （Ⅲ）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

    不妨设，则，显然

    ∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

    即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

    若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

    若，则代入（*）式得：

    即，而此方程无解，因此。此时，

    代入（*）式得：    即   （**）

    令 ，则

    ∴在上单调递增，  ∵     ∴,∴的取值范围是。

    ∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。

    因此，对任意给定的正实数，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上

     

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    （2013•东城区一模）设A是由n个有序实数构成的一个数组，记作：A=（a1，a2，…，ai，…，an）．其中ai（i=1，2，…，n）称为数组A的“元”，S称为A的下标．如果数组S中的每个“元”都是来自 数组A中不同下标的“元”，则称A=（a1，a2，…，an）为B=（b1，b2，…bn）的子数组．定义两个数组A=（a1，a2，…，an），B=（b1，b2，…，bn）的关系数为C（A，B）=a1b1+a2b2+…+anbn．
    （Ⅰ）若A=(-
    1
    2
    ，
    1
    2
    )    ，B=（-1，1，2，3），设S是B的含有两个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值；
    （Ⅱ）若A=(
    		3
    3
    ，
    		3
    3
    ，
    		3
    3
    )    ，B=（0，a，b，c），且a2+b2+c2=1，S为B的含有三个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值；
    （Ⅲ）若数组A=（a1，a2，a3）中的“元”满足a12+a22+a32=1．设数组Bm（m=1，2，3，…，n）含有四个“元”bm1，bm2，bm3，bm4，且bm12+bm22+bm32+bm42=m，求A与Bm的所有含有三个“元”的子数组的关系数C（A，Bm）（m=1，2，3，…，n）的最大值．

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    设A是由n个有序实数构成的一个数组，记作：A=（a1，a2，…，ai，…，an）．其中ai（i=1，2，…，n）称为数组A的“元”，S称为A的下标．如果数组S中的每个“元”都是来自 数组A中不同下标的“元”，则称A=（a1，a2，…，an）为B=（b1，b2，…bn）的子数组．定义两个数组A=（a1，a2，…，an），B=（b1，b2，…，bn）的关系数为C（A，B）=a1b1+a2b2+…+anbn．
    （Ⅰ）若，B=（-1，1，2，3），设S是B的含有两个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值；
    （Ⅱ）若，B=（0，a，b，c），且a2+b2+c2=1，S为B的含有三个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值；
    （Ⅲ）若数组A=（a1，a2，a3）中的“元”满足．设数组Bm（m=1，2，3，…，n）含有四个“元”bm1，bm2，bm3，bm4，且，求A与Bm的所有含有三个“元”的子数组的关系数C（A，Bm）（m=1，2，3，…，n）的最大值．

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    1―10.CAACB  CCCDB，11．（1，1），12．（-2，3），13．5，14．D=E，15．m＞-1/2

    16．因为ｘ2－ｙ2＝0表示过原点的两条互相垂直的直线：y=x，y=-x，（x-a）2+y2=1表示圆心为C（a，0），半径为1的动圆，本题讨论方程组有实数解的问题即讨论圆与直线有公共点的问题。（1）-≤a≤；（2）当-＜a＜-1或-1＜a＜1或1＜a＜时有四组实数解，当a=±1时，有三组实数解，当a=±时，有两组实数解，当a＜-或a＞时无实数解。

    17．以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。设A（-5，0），则B（5，0），在平面内任取一点P（x，y），设从A运货物到P的运费为2a元/km，则从B运到P的费用是a元/km，若P地居民选择在A地购买此商品，则

    即P点在圆C

    的内部.换言之,圆C内部的居民应在A地购买,同理可推得圆C外部的应在B地购物，圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物。

    18．尝试使用对称法，如图作A点关于y轴

    的对称点A1，再作A点关于y=x的对称点A2，

    在y轴和y=x上公别取点B、 C，则|BA|=|BA1|，

    |AC|=|A2C|，于是△ABC的周长

    |AB|+|BC|+|CA|=|A1B|+|BC|+|CA2|，

    从而将问题转化为在y轴，y=x上各取一点，使

    折线A1BCA2的长度最小。B（0，-17/5）和C（-17/8，-17/8）

    19．（1）配方得圆心，将心坐标消去m可得直线a：x-3y-3=0

       （2）设与直线a平行的直线c：x-3y+b=0（b≠-3），则圆心到直线a的距离为

    ，∵圆的半径r=5，∴当d＜r时，直线与圆相交，当d=r时，直线与圆相切，当d＞r时直线与圆相离。（3）对于任一条平行于a且与圆相交的直线的直线c，由于圆心到直线c的距离都与m无关，所以弦长与m无关。

    20．△ABC为直角三角形，如国图建立直角坐标系，

    则A（0，0）、B（4，0）、C（0，3），设内切圆半径

    为r，则r=1/2（|OC|+|OB|-|BC|）=1，故内切圆方程为

    （x-1）2+（y-1）2=1，可设P点坐标（1+Cosα，1+Sinα）

    则以PA、PB、PC为直径的三个圆面积之和S=（10-Cｏｓα）

    当Cosα=-1时，Smax=5.5π,

    当Cosα=1时, Smin=4.5π.

     


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