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    (Ⅱ)求证:平面⊥平面, 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)














    （Ⅰ）求证：平面；
    （Ⅱ）设的中点为，求证：平面；
    （Ⅲ）求四棱锥的体积．

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    平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，-2），点C满足
    OC
    =α
    OA
    +β
    OB
    ，其中α，β∈R，且α-2β=1．
    （Ⅰ）求点C的轨迹方程；
    （Ⅱ）设点C的轨迹与双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    交于两点M，N，且以MN为直径的圆过原点，求证：
    1
    a2
    -
    1
    b2
    为定值．

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    平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点M（1，-3）N（5，1），若点C满足
    OC
    =t
    OM
    +(1-t)
    ON
    (t∈R)    ．
    （Ⅰ）求点C的轨迹方程；
    （Ⅱ）设点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A、B两点，求证：
    OA
    ⊥
    OB
    ；
    （Ⅲ）求以AB为直径的圆的方程．

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    平面直角坐标系xOy中，已知A1（x1，y1），A2（x2，y2），…，An（xn，yn）是直线l：y=kx+b上的n个点
    （n∈N*，k、b均为非零常数）．
    （1）若数列{xn}成等差数列，求证：数列{yn}也成等差数列；
    （2）若点P是直线l上一点，且
    OP
    =a1
    OA1
    +a2
    OA2
    ，求a1+a2的值；
    （3）若点P满足
    OP
    =a1
    OA1
    +a2
    OA2
    +…+an
    OAn
    ，我们称
    OP
    是向量
    OA1
    ，
    OA2
    ，…，
    OAn
    的线性组合，{an}是该线性组合的系数数列．当
    OP
    是向量
    OA1
    ，
    OA2
    ，…，
    OAn
    的线性组合时，请参考以下线索：
    ①系数数列{an}需满足怎样的条件，点P会落在直线l上？
    ②若点P落在直线l上，系数数列{an}会满足怎样的结论？
    ③能否根据你给出的系数数列{an}满足的条件，确定在直线l上的点P的个数或坐标？
    试提出一个相关命题（或猜想）并开展研究，写出你的研究过程．[本小题将根据你提出的命题（或猜想）的完备程度和研究过程中体现的思维层次，给予不同的评分]．

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    平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1，-3）、N（5，1），若点C满足
    OC
    =t
    OM
    +（1-t）
    ON
    （t∈R），点C的轨迹与抛物线：y2=4x交于A、B两点．
    （Ⅰ）求证：
    OA
    ⊥
    OB
    ；
    （Ⅱ）在x轴上是否存在一点P（m，0）（m∈R），使得过P点的直线交抛物线于D、E两点，并以该弦DE为直径的圆都过原点．若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．

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    （一）

    【解题思路】：设f（x）的二次项系数为m，其图象上两点为（1-x，）、B（1＋x，）因为，，所以，由x的任意性得f（x）的图象关于直线x＝1对称， ………………………………………………………………(2分)

    ∵　，，，

    ，，，………………………………(4分)

    ∴　当时，∵f（x）在x≥1内是增函数，

    ，．

    　　∵　，　∴　．………………………………………………(8分)

    当时，∵f（x）在x≥1内是减函数．

    同理可得或，．………………………………………(11分)

    　　综上：的解集是当时，为

    当时，为，或．…………………………(12分)

    【试题评析】：本小题主要考查最简单三角不等式的解法等基本知识，涉及到分类讨论、二次函数的对称性、向量的数量积、函数的单调性等基本知识和方法的综合运用，考查运算能力及逻辑思维能力。

     

    18．（理）【解题思路】：（1）设甲队在第五场比赛后获得冠军为事件M，则第五场比赛甲队获胜，前四场比赛甲队获胜三场,

    　　依题意得．……………………………(6分)

    　　（2）设甲队获得冠军为事件E，则E包含第四、第五、第六、第七场获得冠军四种情况，且它们彼此互斥．

    ∴　．

    ………………………………………………………………(12分)

    【试题评析】：考查互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，n次独立重复实验恰好k次发生的概率。考查逻辑思维能力，要求考生具有较强的辨别雷同信息的能力。

    19．【解题思路】：解法一：（1）取PC中点M，连结ME、MF，则MF∥CD，MF=CD，又AE∥CD，AE=CD，∴AE∥MF，且AE=MF，∴四边形AFME是平行四边形，∴AF∥EM，∵AF平面PCE，∴AF∥平面PCE. …………………………………(4分)

               (2)∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD. ∴CD⊥PD，∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°，   ………………………………………………………………(6分)

    ∴△PAD是等腰直角三角形，∴AF⊥PD，又AF⊥CD，∴AF⊥平面PCD，而EM∥AF，∴EM⊥平面PCD. 又EM平面PEC，∴面PEC⊥面PCD. 在平面PCD内过F作FH⊥PC于H，则FH就是点F到平面PCE的距离. …………………………………(10分)

    由已知，PD=，PF=，PC=，△PFH∽△PCD，∴，

    ∴FH=.           ………………………………………………………………(12分)

           解法二：（1）取PC中点M，连结EM，

    =+=，∴AF∥EM，又EM平面PEC，AF平面PEC，∴AF∥平面PEC. ………………………………………………(4分)

           （2）以Ａ为坐标原点，分别以所在直线为x、y、z

    轴建立坐标系.　∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥PD，

    ∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°. ……(6分)

     ∴A(0, 0, 0), P(0, 0, 2), D(0, 2, 0), F(0, 1, 1), E, C(3, 2, 0)，设平面PCE的法向量为=(x, y, z)，则⊥，⊥，而=（-，0，2），

    =（，2，0），∴-x+2z=0，且x+2y=0，解得y=-x，z=x. 取x=4

    得=(4, -3, 3)，………………………………………………………………(10分)

     

    又=（0，1，-1），

    故点F到平面PCE的距离为d=.…………(12分)

    【试题评析】：本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，是否利用空间向量供考生选择。考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力   

     

    （二）

    17. 解：（1）   设，则 …………………1分

    …………………2分

    又是奇函数，所以…………………3分

    =……4分

     

     

                                         ………………5分

    是[-1，1]上增函数………………6分

    （2）是[-1，1]上增函数，由已知得: …………7分

    等价于     …………10分

    解得：，所以…………12分

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    *二次函数在上递减………………………12分

    故时，

    ……………………13分

    ，…………………………14分

    （三）

    16．解： 由题意，得为锐角，，               3分

        ，                 6分

    由正弦定理得 ，                                       9分

    ．                             12分

     

    17．（本题满分12分）

    有红蓝两粒质地均匀的正方体形状骰子，红色骰子有两个面是8，四个面是2，蓝色骰子有三个面是7，三个面是1，两人各取一只骰子分别随机掷一次，所得点数较大者获胜.

    （1）分别求出两只骰子投掷所得点数的分布列及期望；

    （2）求投掷蓝色骰子者获胜的概率是多少？

    17．解：（1）设红色骰子投掷所得点数为，其分布如下：

     

     

    8

    2

    P

    ………………2分

           ；………………………………………………4分

           设蓝色骰子投掷所得点数，其分布如下；

    7

    1

    P

    ………………6分

           ………………………………8分

    （2）∵投掷骰子点数较大者获胜，∴投掷蓝色骰子者若获胜，则投掷后蓝色骰子点数为7，

    红色骰子点数为2.∴投掷蓝色骰子者获胜概率是…………12分

     

    18．（本题满分14分）

    如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．

    (Ⅰ)求证：OD∥平面PAB；

    (Ⅱ)当k＝时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；

    (Ⅲ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？

    解：解法一

    (Ⅰ)∵O、D分别为AC、PC的中点：∴OD∥PA,又PA平面PAB,

    ∴OD∥平面PAB.                                                         3分

    (Ⅱ)∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OC=OB,又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC.

    取BC中点E,连结PE,则BC⊥平面POE,作OF⊥PE于F,连结DF,则OF⊥平面PBC

    ∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角.

    又OD∥PA,∴PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF.

    在Rt△ODF中,sin∠ODF=,

    ∴PA与平面PBC所成角为arcsin                                     4分

    (Ⅲ)由(Ⅱ)知,OF⊥平面PBC,∴F是O在平面PBC内的射影.

    ∵D是PC的中点,若F是△PBC的重心,则B、F、D三点共线,直线OB在平面PBC内的射影为直线BD,∵OB⊥PC.∴PC⊥BD,∴PB=BC,即k=1..反之,,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥,∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心.                              5分

    解法二：

    ∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.

    以O为原点,射线OP为非负x轴,建立空间坐标系O-xyz如图),设AB=a,则A(a,0,0).

    B(0, a,0),C(-a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h).

    (Ⅰ)∵D为PC的中点,∴又∥,

    ∴OD∥平面PAB.

    (Ⅱ)∵k=则PA=2a,∴h=∴可求得平面PBC的法向量

    ∴cos.

    设PA与平面PBC所成角为θ,刚sinθ=|cos()|=.

    ∴PA与平面PBC所成的角为arcsin.

    (Ⅲ)△PBC的重心G(),∴=().

    ∵OG⊥平面PBC,∴又∴,

    ∴h=,∴PA=,即k=1,反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥.

    ∴O为平面PBC内的射影为△PBC的重心.

     

    （四）

    16、解：（1）设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C

    三人同时对同一目标射击，目标被击中为事件D          …… 2分

    可知，三人同时对同一目标射击，目标不被击中为事件 

    有                                   

    又由已知       …… 6分

    ∴                                 

    答：三人同时对同一目标进行射击，目标被击中的概率为  …… 8分

    （2）甲、乙、丙由先而后进行射击时最省子弹。   …… 10分

    甲、乙、丙由先而后进行射击时所用子弹的分布列为

    ξ

    1

    2

    3

    P

    …… 11分

    由此可求出此时所耗子弹数量的期望为：   …… 13分

    按其它顺序编排进行射击时，得出所耗子弹数量的期望值均高过此时，

    因此甲、乙、丙由先而后进行射击时最省子弹。        ……  14分

     

    17、 （可用常规方法，亦可建立坐标系用向量解决，方法多样，答案过程略）

    （1）、证明略 （4分）

            （2）、（4分）

            （3）、异面直线A’C与BC’所成的角为60°（4分）

     

    18、解：（1）由已知，   …… 2分

                                   …… 4分

               由，得

               ∴p＝       ∴                …… 6分

    （2）由（1）得，         …… 7分

                  2    … ①

                  …② ……10分

                 ②-①得，

                             ＝＝       ……14分

     

    （五）

    17、（本小题满分12分）

    解：（Ⅰ）在△ABC中，

    ………………………………  6分

    （Ⅱ）由正弦定理,又,故

    即:  故△ABC是以角C为直角的直角三角形   

    又………………………………………………12分

    18．（本小题满分14分）

    (Ⅰ)证明:,

    .……2分

    又,……4分

    ∴  PD⊥面ABCD………6分

    (Ⅱ)解:连结BD,设BD交AC于点O,

    过O作OE⊥PB于点E,连结AE,

    ∵PD⊥面ABCD, ∴,

    又∵AO⊥BD, ∴AO⊥面PDB.

    ∴AO⊥PB,

    ∵,

    ∴,从而,

    故就是二面角A－PB－D的平面角.……………………10分

    ∵ PD⊥面ABCD,   ∴PD⊥BD,

    ∴在Rt△PDB中, ,

    又∵,    ∴,………………12分

      ∴  .

    故二面角A－PB－D的大小为60°. …………………14分

    （也可用向量解）

    19、（本小题满分1４分）

    （Ⅰ）由题设得，对两边平方得

     

    展开整理易得 ------------------------6分

      （Ⅱ），当且仅当＝1时取得等号.

    欲使对任意的恒成立，等价于

    即在上恒成立，而在上为单调函数或常函数，

    所以 

    解得

       故实数的取值范围为 ---------------------------------14分

     

    （六）

    .w.w.k.s.5.u.c.o.m16．解： 为锐角，且     ……3分

    （Ⅰ）   …….6分

                ………….7分

     

    （Ⅱ）=      ………. 10分

                     …………..14分

    17．（本小题满分14分）

    证明: (Ⅰ) 在矩形ABCD中,

    ∵AP＝PB, DQ＝QC,

    ∴APCQ.

    ∴AQCP为平行四边形.

    ∴CP∥AQ. …………3分

    ∵CP平面CEP,

    AQ平面CEP,

    ∴AQ∥平面CEP. …………5分

    &nb


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