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    已知 若过定点.以()为法向量的直线与过点以为法向量的直线相交于动点． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知，若过定点、以（λ∈R）为法向量的直线l1与过点以为法向量的直线l2相交于动点P．
    （1）求直线l1和l2的方程；
    （2）求直线l1和l2的斜率之积k1k2的值，并证明必存在两个定点E，F，使得恒为定值；
    （3）在（2）的条件下，若M，N是上的两个动点，且，试问当|MN|取最小值时，向量与是否平行，并说明理由．

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    （2009•浦东新区二模）已知
    i
    =(1，0)，
    c
    =(0，
    		2
    )    ，若过定点A(0，
    		2
    )    、以
    i
    -λ
    c
    （λ∈R）为法向量的直线l1与过点B(0，-
    		2
    )    以
    c
    +λ
    i
    为法向量的直线l2相交于动点P．
    （1）求直线l1和l2的方程；
    （2）求直线l1和l2的斜率之积k1k2的值，并证明必存在两个定点E，F，使得|
    PE
    |+|
    PF
    |    恒为定值；
    （3）在（2）的条件下，若M，N是l：x=2
    		2
    上的两个动点，且
    EM
    •
    FN
    =0    ，试问当|MN|取最小值时，向量
    EM
    +
    FN
    与
    EF
    是否平行，并说明理由．

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    已知直三棱柱中, , ， 是和的交点, 若.

    （1）求的长；  （2）求点到平面的距离；

    （3）求二面角的平面角的正弦值的大小.

    【解析】本试题主要考查了距离和角的求解运用。第一问中，利用ACCA为正方形, AC=3

    第二问中，利用面BBCC内作CDBC, 则CD就是点C平面ABC的距离CD=，第三问中，利用三垂线定理作二面角的平面角，然后利用直角三角形求解得到其正弦值为

    解法一: (1)连AC交AC于E, 易证ACCA为正方形, AC=3 ……………  5分

    (2)在面BBCC内作CDBC, 则CD就是点C平面ABC的距离CD= … 8分

    (3) 易得AC面ACB, 过E作EHAB于H, 连HC, 则HCAB

    CHE为二面角C－AB－C的平面角. ………  9分

    sinCHE=二面角C－AB－C的平面角的正弦大小为 ……… 12分

    解法二: (1)分别以直线CB、CC、CA为x、y为轴建立空间直角坐标系, 设|CA|=h, 则C(0, 0, 0), B(4, 0, 0), B(4, －3, 0), C(0, －3, 0), A(0, 0, h), A(0, －3, h), G(2, －, －) ………………………  3分

    =(2, －, －), =(0, －3, －h)  ……… 4分

    ·=0,  h=3

    (2)设平面ABC得法向量=(a, b, c),则可求得=(3, 4, 0) (令a=3)

    点A到平面ABC的距离为H=||=……… 8分

    (3) 设平面ABC的法向量为=(x, y, z),则可求得=(0, 1, 1) (令z=1)

    二面角C－AB－C的大小满足cos== ………  11分

    二面角C－AB－C的平面角的正弦大小为

     

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    一、选择题：

    CADDB  ADBBA  CD

    二、填空题

    （13）;  （14）8;   （15）;  （16）.

    三、解答题

    （17）解：将圆C的方程配方得标准方程为，

    则此圆的圆心为（0 , 4），半径为2.

    (Ⅰ) 若直线与圆C相切，则有. 解得.  ………………6分

    (Ⅱ) 解：过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得

     解得.

    ∴直线的方程是和.  ………………12分

    （18）解:(Ⅰ)由题意知此平面区域表示的是以构成的三角形及其内部,且△是直角三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是,

    所以圆的方程是.    ………………6分

     (Ⅱ)设直线的方程是:.

      因为,所以圆心到直线的距离是, 即.

    解得:.                          ………………………………11分

    所以直线的方程是. ………………12分

    （19）解：设过点T(3,0)的直线交抛物线于点A、B .

    （Ⅰ）当直线的钭率不存在时,直线的方程为,

    此时, 直线与抛物线相交于点A(3,)（）.B(3,－)，∴=3.   …….............4分

    （Ⅱ）当直线的钭率存在时,设直线的方程为，

    其中，由得 .     …………………….….6分

    又 ∵ ， ∴，

                                                        ………………………………….10分

    综上所述，命题“若直线过点T(3,0)，则=3” 是真命题.  ………………….12分

    （20）解：（Ⅰ）由知是的中点，

    设A、B两点的坐标分别为

    由.

    ，

    ∴点的坐标为.               …………………………4分

      又点在直线上，  .

    ，       ………………6分

       （Ⅱ）由（Ⅰ）知，不妨设椭圆的一个焦点坐标为，

    设关于直线上的对称点为，

    则有.         ………………10分

    由已知.

    ，∴所求的椭圆的方程为 .     ………………12分

    （21）解：（Ⅰ）

         ，即；

         ，即.

          .             ……………………………………………4分

       （Ⅱ）设直线的方程为，

          直线与双曲线交于，不妨设且，

          直线与双曲线交于.

         由得.

         令得，此式恒成立.

    ，.      ………………6分

           而=.

    ∴直线与双曲线交于两支上的两点；

    同理直线与双曲线交于两支上的两点， 

           则                  ……………………8分

            =

           = .  ……………………10分

           令  则   在（1，2）递增.

           又，  

    .             ………………………………………12分

    （22）解：（Ⅰ）直线的法向量， 的方程：，

    即为. ………………………2分

    直线的法向量，的方程为，

    即为.     ………………………4分

    （Ⅱ）.   ………………………6分

    设点的坐标为，由，得.…………8分

    由椭圆的定义的知，存在两个定点使得恒为定值4，此时两个定点为椭圆的两个焦点. ………………………10分

    （Ⅲ）设，，则，，

    由，得. ………………………12分

    ；

    当且仅当或时，取最小值.

    ，故与平行.

    ………………………14分

     

     


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