可以证明，对任意的n∈N^*，有（1+2+…+n）²=1³+2³+…+n³成立．下面尝试推广该命题：
（1）设由三项组成的数列a₁，a₂，a₃每项均非零，且对任意的n∈{1，2，3}有（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³成立，求所有满足条件的数列；
（2）设数列{a_n}每项均非零，且对任意的n∈N^*有（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³成立，数列{a_n}的前n项和为S_n．求证：a_n+1²-a_n+1=2S_n，n∈N^*；
（3）是否存在满足（2）中条件的无穷数列{a_n}，使得a₂₀₁₁=2009？若存在，写出一个这样的无穷数列（不需要证明它满足条件）； 若不存在，说明理由．

定义数列{x_n}，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有（x_n+1-p）（x_n-p）＜0成立，那么我们称数列{x_n}为“p-摆动数列”．
（1）设a_n=2n-1，，n∈N^*，判断{a_n}、{b_n}是否为“p-摆动数列”，并说明理由；
（2）设数列{c_n}为“p-摆动数列”，c₁＞p，求证：对任意正整数m，n∈N^*，总有c_2n＜c_2m-1成立；
（3）设数列{d_n}的前n项和为S_n，且，试问：数列{d_n}是否为“p-摆动数列”，若是，求出p的取值范围；若不是，说明理由．

已知为两个正数，且，设当，时，．

（Ⅰ）求证：数列是递减数列，数列是递增数列；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）是否存在常数使得对任意，有，若存在，求出的取值范围；若不存在，试说明理由．