题目列表(包括答案和解析)
（本题16分，第（1）小题4分；第（2）小题6分；第（3）小题6分）
已知数列
满足：
，
（
），数列
（
），
数列
（）.
（1）证明数列
是等比数列；
（2）求数列
的通项公式；
（3）是否存在数列的不同项
（
），使之成为等差数列？若存在请求出这样的
不同项（）；若不存在，请说明理由．
（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题8分，第（3）小题4分）
已知椭圆
的左右焦点分别为
，短轴两个端点为
，且四边形
是边长为2的正方形。
（1）求椭圆方程；
（2）若
分别是椭圆长轴的左右端点，动点
满足
，连接
，交椭圆于
点
。证明：
为定值；
（3）在（2）的条件下，试问
轴上是否存在异于点
的定点
，使得以
为直径的圆恒过直线
的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（2）小题6分）
在平行四边形
中，已知过点
的直线与线段
分别相交于点
。若
。
（1）求证：
与
的关系为
；
（2）设
，定义在
上的偶函数
，当
时
，且函数图象关于直线
对称，求证：
，
并求
时的解析式；
（3）在（2）的条件下，不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围。
（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2，且△AB1B2是面积为
的直角三角形．过Ｂ1作直线l交椭圆于P、Q两点．
(1) 求该椭圆的标准方程；
(2) 若
，求直线l的方程；
(3) 设直线l与圆O：x2+y2=8相交于M、N两点，令|MN|的长度为t，若t∈
，求△B2PQ的面积
的取值范围．
（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题8分，第（3）小题4分）
已知椭圆
的左右焦点分别为
，短轴两个端点为
，且四边形
是边长为2的正方形。
（1）求椭圆方程；
（2）若
分别是椭圆长轴的左右端点，动点
满足
，连接
，交椭圆于点
。证明：
为定值；
（3）在（2）的条件下，试问
轴上是否存在异于点
的定点
，使得以
为直径的圆恒过直线
的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
一、填空题 (每题5分)
1)
2)
3)0 4) 
5)
6) 
7）②④ 8）
9）
10）
11）7
二、选择题(每题5分)
12、A 13、B 14、D 15、D
三、解答题
16、16、
（1）因为
，所以∠BCA（或其补角）即为异面直线
与
所成角
-------(3分)
∠ABC=90°, AB=BC=1，所以
， -------(2分)
即异面直线与所成角大小为
。
-------(1分)
（2）直三棱柱ABC-A1B
，所以
即为直线A
。 -------(2分)
中，AB=BC=1得到
，
中，得到
， -------(2分)
所以
-------(2分)
17、
-------(1分)
=
-------(1分)
=
-------(1分)
若
为其图象对称中心的横坐标，即
=0， -------(1分)
， -------(1分)
解得：
-------(1分)
（2）
， -------(2分)
即
，而
，所以
。
-------(2分)
，
， -------(2分)
所以
------(2分)
18、
，顾客得到的优惠率是
。 -------(5分)
(2)、设商品的标价为x元，则500≤x≤800 ----- -(2分)
消费金额： 400≤0.8x≤640
由题意可得：
（1）
≥
无解
------(3分)
或（2）
≥ 得：625≤x≤750 ------(3分)
因此，当顾客购买标价在
元内的商品时，可得到不小于的优惠率。------(1分)
19、（1）y＝
?
＝(2x－b)＋(b＋1)＝2x＋1
-----(1分)
与轴的交点
为
，所以
；
-----(1分)
所以
，即
，
-----(1分)
因为
在上，所以
，即
-----(1分)
（2）设
（
），
即
（） ----(1分)
（A）当
时，
----(1分)
=
=
，而
，所以
----(1分)
（B）当
时，
----(1分)
= 
=
，
----(1分)
而
，所以
----(1分)
因此
（）
----(1分)
（3）假设
，使得
，
（A）
为奇数
（一）
为奇数，则
为偶数。则
，
。则
，解得：
与矛盾。
----(1分)
（二）为偶数，则为奇数。则
，
。则
，解得：
（
是正偶数）。 ----(1分)
（B）为偶数
（一）为奇数，则为奇数。则，。则
，解得：
（
是正奇数）。
----(1分)
（二）为偶数，则为偶数。则，。则
，解得：
与矛盾。 ----(1分)
由此得：对于给定常数m(
)，这样的总存在；当是奇数时，；当是偶数时，。
----(1分)
20、（1）解法（A）：点P与点F（2，0）的距离比它到直线＋4＝0的距离小2，所以点P与点F（2，0）的距离与它到直线＋2＝0的距离相等。 ----(1分)
由抛物线定义得：点
在以
为焦点直线＋2＝0为准线的抛物线上， ----(1分)
抛物线方程为
。 ----(2分)
解法（B）：设动点
，则
。当
时，
，化简得：
，显然
，而，此时曲线不存在。当时，
，化简得：。
（2）
，
，
，
----(1分)
，
，即
，
，
----(2分)
直线为
，所以
----(1分)
----(1分)
由（a）（b）得：直线恒过定点
。
----(1分)
1、（逆命题）如果直线，且与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点。求证：OA⊥OB （评分：提出问题得1分，解答正确得1分）
（若，求证：
?
=0，得分相同）
2、（简单推广命题）如果直线L与抛物线
＝2px(p>0)相交于A、B两点，且OA⊥OB。求证：直线L过定点（2p，0）
或：它的逆命题（评分：提出问题得2分，解答正确得1分）
3、（类比）
3．1（1）如果直线L与椭圆
＋
＝1(a>b>0)相交于A、B两点，M是其右顶点，当MA⊥MB。求证：直线L过定点(
,0)
3．1（2）如果直线L与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A、B两点，M是其左顶点，当MA⊥MB。求证：直线L过定点(
,0)
3．1（3）或它的逆命题
3．2（1）如果直线L与双曲线
－
＝1(a>0,b>0)相交于A、B两点，M是其右顶点，当MA⊥MB。求证：直线L过定点(
,0)(a≠b)
3．2（2）如果直线L与双曲线－＝1(a>0,b>0)相交于A、B两点，M是其左顶点，当MA⊥MB。求证：直线L过定点(
,0)(a≠b)
3．2（3）或它的逆命题
（评分：提出问题得3分，解答正确得3分）
4、（再推广）
直角顶点在圆锥曲线上运动
如：如果直线L与抛物线＝2px(p>0)相交于A、B两点，P是抛物线上一定点(
,
)，且PA⊥PB。求证：直线L过定点(＋2p,－)
（评分：提出问题得4分，解答正确得3分）
5、（再推广）
如果直线L与抛物线＝2px(p>0)相交于A、B两点，P是抛物线上一定点(,)，PA与PB的斜率乘积是常数m。求证：直线L过定点(－
,－)
（评分：提出问题得5分，解答正确得4分）
或
?
为常数
顶点在圆锥曲线上运动并把直角改为一般定角或OA与OB的斜率乘积是常数或?为常数
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