∴解得或. 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

已知向量夹角为 ,且;则

【解析】因为,所以,即,所以,整理得,解得(舍去).

 

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已知递增等差数列满足:,且成等比数列.

(1)求数列的通项公式

(2)若不等式对任意恒成立,试猜想出实数的最小值,并证明.

【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的运用以及数列求和的运用。第一问中,利用设数列公差为

由题意可知,即,解得d,得到通项公式,第二问中,不等式等价于,利用当时,;当时,;而,所以猜想,的最小值为然后加以证明即可。

解:(1)设数列公差为,由题意可知,即

解得(舍去).      …………3分

所以,.        …………6分

(2)不等式等价于

时,;当时,

,所以猜想,的最小值为.     …………8分

下证不等式对任意恒成立.

方法一:数学归纳法.

时,,成立.

假设当时,不等式成立,

时,, …………10分

只要证  ,只要证 

只要证  ,只要证 

只要证  ,显然成立.所以,对任意,不等式恒成立.…14分

方法二:单调性证明.

要证 

只要证  ,  

设数列的通项公式,        …………10分

,    …………12分

所以对,都有,可知数列为单调递减数列.

,所以恒成立,

的最小值为

 

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已知,函数

(1)当时,求函数在点(1,)的切线方程;

(2)求函数在[-1,1]的极值;

(3)若在上至少存在一个实数x0,使>g(xo)成立,求正实数的取值范围。

【解析】本试题中导数在研究函数中的运用。(1)中,那么当时,  又    所以函数在点(1,)的切线方程为;(2)中令   有 

对a分类讨论,和得到极值。(3)中,设,依题意,只需那么可以解得。

解:(Ⅰ)∵  ∴

∴  当时,  又    

∴  函数在点(1,)的切线方程为 --------4分

(Ⅱ)令   有 

①         当

(-1,0)

0

(0,

,1)

+

0

0

+

极大值

极小值

的极大值是,极小值是

②         当时,在(-1,0)上递增,在(0,1)上递减,则的极大值为,无极小值。 

综上所述   时,极大值为,无极小值

时  极大值是,极小值是        ----------8分

(Ⅲ)设

求导,得

    

在区间上为增函数,则

依题意,只需,即 

解得  (舍去)

则正实数的取值范围是(

 

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