A．（选修4-4坐标系与参数方程）已知点A是曲线ρ=2sinθ上任意一点，则点A到直线ρsin(θ+

π

3

)=4的距离的最小值是

 

．
B．（选修4-5不等式选讲）不等式|x-log₂x|＜x+|log₂x|的解集是

 

．
C．（选修4-1几何证明选讲）如图所示，AC和AB分别是圆O的切线，且OC=3，AB=4，延长AO到D点，则△ABD的面积是

 

．

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A．选修4-1：几何证明选讲
锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC=60？，∠BAC=40？，作OE⊥AB交劣弧

AB

于点E，连接EC，求∠OEC．
B．选修4-2：矩阵与变换
曲线C₁=x²+2y2=1在矩阵M=[

1 2 0 1

]的作用下变换为曲线C₂，求C₂的方程．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
P为曲线C₁：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ为参数）上一点，求它到直线C₂：

x=1+2t y=2

（t为参数）距离的最小值．
D．选修4-5：不等式选讲
设n∈N^*，求证：

C 1 n

+

C 2 N

+L+

C N N

≤

n(2n-1)

．

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A．如图，四边形ABCD内接于⊙O，弧AB=弧AD，过A点的切线交CB的延长线于E点．
求证：AB²=BE•CD．
B．已知矩阵M

2 -3 1 -1

所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标．
C．已知圆的极坐标方程为：ρ2-4

2

ρcos(θ-

π

4

)+6=0．
（1）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．
D．解不等式|2x-1|＜|x|+1．

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A．选修4-1：几何证明选讲
如图，直角△ABC中，∠B=90°，以BC为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB的中点．
求证：DE是⊙O的切线．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A有特征值-1及其对应的一个特征向量为

1 -4

，点P（2，-1）在矩阵A对应的变换下得到点P′（5，1），求矩阵A．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρcos(θ-

π

4

)=

2

，曲线C的参数方程为

x=2cosα y=sinα

（α为参数），求曲线C截直线l所得的弦长．
D．选修4-5：不等式选讲
已知a，b，c都是正数，且abc=8，求证：log₂（2+a）+log₂（2+b）+log₂（2+c）≥6．

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A．选修4-1：几何证明选讲
如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC
交于点D．求证：ED²=EB•EC．
B．选修4-2：矩阵与变换
求矩阵M=

-1 4 2 6

的特征值和特征向量．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是ρcos(θ+

π

4

)=

3 2

2

和ρsin²θ=4cosθ，直线l与曲线C交于点．A，B，C，求线段AB的长．
D．选修4-5：不等式选讲
对于实数x，y，若|x-1|≤1，|y-2|≤1，求|x-y+1|的最大值．

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一．选择题：CCBAB BBADA

解析：1：由映射概念可知可得.故选.

2：如图，＋3＝，在中，由余弦定理得｜＋3|=｜｜＝，故选C。

3：取，由图象可知，此时注水量大于容器容积的，故选B。

4：因为三角形中的最小内角，故，由此可得y=sinx+cosx>1，排除B,C,D，故应选A。

5：取x＝4，y＝?100%≈－8.3%，排除C、D；取x＝30，y ＝ ?100%≈77.2%，排除A，故选B。

6：等差数列的前n项和S_n=n²+(a₁-)n可表示为过原点的抛物线，又本题中a₁=-9<0, S₃=S₇,可表示如图，由图可知，n=,是抛物线的对称轴，所以n=5是抛物线的对称轴，所以n=5时S_n最小，故选B。

7：∵A，B是一对矛盾命题，故必有一真，从而排除错误支C，D。又由ab<0，可令a=1,b= －1，代入知B为真，故选B。

8：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的对角线就是球的直径。可以快速算出球的半径，从而求出球的表面积为，故选A。

9：分析选择支可知，四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求，故可考虑找不符合条件的曲线从而筛选，而在四条曲线中②是一个面积最大的椭圆，故可先看②，显然直线和曲线是相交的，因为直线上的点在椭圆内，对照选项故选D。

10：，从而对任意的，存在唯一的，使得为常数。充分利用题中给出的常数10，100。令,当时，，由此得故选A。

二．填空题：11、；   12、；   13、；

14、；  15、；

解析：11：不等式等价于，也就是，所以，从而应填．

12： ，不论的值如何，与同号，所以

13：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆的圆心的距离不超过半径，∴。

14.解：由正弦定理得即，∴所求直线的极坐标方程为.

15.解：即，

三．解答题：

16．解：(Ⅰ)函数 要有意义需满足：即，解得，   …………………………………3分

函数要有意义需满足，即，

解得或  …………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，，

，………………………12分

17.解：（I）因为是等比数列，

       又…………………………………………2分

       ∴是以a为首项，为公比的等比数列.………………………………6分

   （II）（I）中命题的逆命题是：若是等比数列，则也是等比数列，是假命题.

                           ……………………………………………………………8分

       设的公比为则

       又

       是以1为首项，q为公比的等比数列，

       是以为首项，q为公比的等比数列.……………………10分

       即为1，a，q，aq，q²，aq²，…

       但当q≠a²时，不是等比数列

       故逆命题是假命题.……………………………………………………………………12分

       另解：取a=2，q=1时，

       因此是等比数列，而不是等比数列.

       故逆命题是假命题.……………………………………………………………………12分

18.解：（1）设选对一道“可判断２个选项是错误的”题目为事件A，“可判断１个选项是错误的”该题选对为事件B，“不能理解题意的”该题选对为事件C.则---

所以得４０分的概率………………………………4分

(2) 该考生得20分的概率=……………………5分

该考生得25分的概率：

=  ……………………6分

该考生得30分的概率：==   --------------7分

该考生得35分的概率：

=            ……………………9分

∵　　∴该考生得25分或30分的可能性最大………………………………11分

（3）该考生所得分数的数学期望=

………………………………14分

19．解：（Ⅰ）由知圆心C的坐标为--------------（1分）

∵圆C关于直线对称

∴点在直线上  -----------------（2分）

即D+E=－2，------------①且-----------------②-----------------（3分）

又∵圆心C在第二象限   ∴  -----------------（4分）

由①②解得D=2,E=－4     -----------------（5分）

∴所求圆C的方程为：  ------------------（6分）

  （Ⅱ）切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，设：  -----------（7分）

        圆C:

圆心到切线的距离等于半径，

即                    

。                    ------------------（12分）

所求切线方程     ------------------（14分）

20．（Ⅰ）证明：在正方体中，∵平面∥平面

      平面平面，平面平面

      ∴∥.-------------------------------------3分

 （Ⅱ）解：如图，以D为原点分别以DA、DC、DD₁为

x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则有

D₁（0，0，2），E（2，1，2），F（0，2，1），

∴，

      设平面的法向量为

     则由，和，得，

     取，得，，∴ ------------------------------6分

又平面的法向量为（0，0，2）

故；

    ∴截面与底面所成二面角的余弦值为. ------------------9分

（Ⅲ）解：设所求几何体的体积为V，

        ∵～，，，

        ∴，，

       ∴，

--------------------------11分

故V_棱台

     ∴V=V_正方体-V_棱台. ------------------14分

21．解：（Ⅰ）由题意，在[]上递减，则解得

所以，所求的区间为[-1，1]         ………………………4分

（Ⅱ）取则，即不是上的减函数。

取，

即不是上的增函数

所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数。-------9分

（Ⅲ）若是闭函数，则存在区间[]，在区间[]上，函数的值域为[]，即，为方程的两个实数根，

即方程有两个不等的实根。

当时，有，解得。

当时，有，无解。

综上所述，---------------------------------------------14分