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    (Ⅱ)判断函数是否为闭函数?并说明理由, 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    若函数f（x）同时满足下列两个性质，则称其为“规则函数”
    ①函数f（x）在其定义域上是单调函数；
    ②在函数f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是
    a
    2
    ，且最大值是
    b
    2
    ．
    请解答以下问题：
    （Ⅰ） 判断函数f（x）=x2-2x，（x∈（0，+∞））是否为“规则函数”？并说明理由；
    （Ⅱ）判断函数g（x）=-x3是否为“规则函数”？并说明理由．若是，请找出满足②的闭区间[a，b]；
    （Ⅲ）若函数h(x)=
    		x-1
    +t    是“规则函数”，求实数t的取值范围．

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    给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任意一个自变量x0，都有函数值f（x0）∈D，称函数y=f（x）在D上封闭．
    （1）若定义域D1=（0，1），判断函数g（x）=2x-1是否在D1上封闭，并说明理由；
    （2）若定义域D2=（1，5]，是否存在实数a，使得函数f(x)=
    5x-ax+2
    在D2上封闭？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
    （3）利用（2）中函数，构造一个数列{xn}，方法如下：对于给定的定义域D2=（1，5]中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1），…在上述构造数列的过程中，如果xi（i=1，2，3，4…）在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果xi不在定义域中，则构造数列的过程停止．
    ①如果可以用上述方法构造出一个无穷常数列{xn}，求实数a的取值范围．
    ②如果取定义域中任一值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn}，求实数a的取值范围．

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    已知函数y=f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＞m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类增周期函数，周期为T．若恒有f（x+T）=m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类周期函数，周期为T．
    （1）试判断函数f（x）=数学公式是否为（3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数？并说明理由；
    （2）已知函数f（x）=-x2+ax是[3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a的取值范围；
    （3）下面两个问题可以任选一个问题作答，如果你选做了两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分．
    （Ⅰ）已知T=1，y=f（x）是[0，+∞）上m级类周期函数，且y=f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2x，求实数m的取值范围．
    （Ⅱ）已知当x∈[0，4]时，函数f（x）=x2-4x，若f（x）是[0，+∞）上周期为4的m级类周期函数，且y=f（x）的值域为一个闭区间，求实数m的取值范围．

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    给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任意一个自变量x0，都有函数值f（x0）∈D，称函数y=f（x）在D上封闭．
    （1）若定义域D1=（0，1），判断函数g（x）=2x-1是否在D1上封闭，并说明理由；
    （2）若定义域D2=（1，5]，是否存在实数a，使得函数f(x)=
    5x-a
    x+2
    在D2上封闭？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
    （3）利用（2）中函数，构造一个数列{xn}，方法如下：对于给定的定义域D2=（1，5]中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1），…在上述构造数列的过程中，如果xi（i=1，2，3，4…）在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果xi不在定义域中，则构造数列的过程停止．
    ①如果可以用上述方法构造出一个无穷常数列{xn}，求实数a的取值范围．
    ②如果取定义域中任一值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn}，求实数a的取值范围．

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    对于函数（，D是此函数的定义域），若同时满足下列条件：
    ①在D内单调递减或单调递增；
    ②存在区间[a，b]D，使在[a，b]上的值域为[a，b]；
    那么把叫闭函数；
    （1）求闭函数符合条件②的区间[a，b]；
    （2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；
    （3）是闭函数，求实数k的取值范围。

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    一．选择题：CCBAB BBADA

    解析：1：由映射概念可知可得.故选.

    2：如图，＋3＝，在中，由余弦定理得｜＋3|=｜｜＝，故选C。

    3：取，由图象可知，此时注水量大于容器容积的，故选B。

    4：因为三角形中的最小内角，故，由此可得y=sinx+cosx>1，排除B,C,D，故应选A。

    5：取x＝4，y＝?100%≈－8.3%，排除C、D；取x＝30，y ＝ ?100%≈77.2%，排除A，故选B。

    6：等差数列的前n项和Sn=n2+(a1-)n可表示为过原点的抛物线，又本题中a1=-9<0, S3=S7,可表示如图，由图可知，n=,是抛物线的对称轴，所以n=5是抛物线的对称轴，所以n=5时Sn最小，故选B。

    7：∵A，B是一对矛盾命题，故必有一真，从而排除错误支C，D。又由ab<0，可令a=1,b= －1，代入知B为真，故选B。

    8：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的对角线就是球的直径。可以快速算出球的半径，从而求出球的表面积为，故选A。

    9：分析选择支可知，四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求，故可考虑找不符合条件的曲线从而筛选，而在四条曲线中②是一个面积最大的椭圆，故可先看②，显然直线和曲线是相交的，因为直线上的点在椭圆内，对照选项故选D。

    10：，从而对任意的，存在唯一的，使得为常数。充分利用题中给出的常数10，100。令,当时，，由此得故选A。

    二．填空题：11、；   12、；   13、；

    14、；  15、；

    解析：11：不等式等价于，也就是，所以，从而应填．

    12： ，不论的值如何，与同号，所以

    13：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆的圆心的距离不超过半径，∴。

    14.解：由正弦定理得即，∴所求直线的极坐标方程为.

     

    15.解：即，

     

    三．解答题：

    16．解：(Ⅰ)函数 要有意义需满足：即，解得，   …………………………………3分

    函数要有意义需满足，即，

    解得或  …………………………………6分

    (Ⅱ)由(Ⅰ)可知，，

    ，………………………12分

     

    17.解：（I）因为是等比数列，

           又…………………………………………2分

          

           ∴是以a为首项，为公比的等比数列.………………………………6分

       （II）（I）中命题的逆命题是：若是等比数列，则也是等比数列，是假命题.

                               ……………………………………………………………8分

           设的公比为则

           又

           是以1为首项，q为公比的等比数列，

           是以为首项，q为公比的等比数列.……………………10分

           即为1，a，q，aq，q2，aq2，…

           但当q≠a2时，不是等比数列

           故逆命题是假命题.……………………………………………………………………12分

           另解：取a=2，q=1时，

          

           因此是等比数列，而不是等比数列.

           故逆命题是假命题.……………………………………………………………………12分

     

    18.解：（1）设选对一道“可判断２个选项是错误的”题目为事件A，“可判断１个选项是错误的”该题选对为事件B，“不能理解题意的”该题选对为事件C.则---

    所以得４０分的概率………………………………4分

    (2) 该考生得20分的概率=……………………5分

    该考生得25分的概率：

    =  ……………………6分

    该考生得30分的概率：==   --------------7分

    该考生得35分的概率：

    =            ……………………9分

    ∵　　∴该考生得25分或30分的可能性最大………………………………11分

    （3）该考生所得分数的数学期望=

    ………………………………14分

    19．解：（Ⅰ）由知圆心C的坐标为--------------（1分）

    ∵圆C关于直线对称

    ∴点在直线上  -----------------（2分）

    即D+E=－2，------------①且-----------------②-----------------（3分）

    又∵圆心C在第二象限   ∴  -----------------（4分）

    由①②解得D=2,E=－4     -----------------（5分）

    ∴所求圆C的方程为：  ------------------（6分）

      （Ⅱ）切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，设：  -----------（7分）

            圆C:

    圆心到切线的距离等于半径，

    即                    

    。                    ------------------（12分）

    所求切线方程     ------------------（14分）

     

    20．（Ⅰ）证明：在正方体中，∵平面∥平面

          平面平面，平面平面

          ∴∥.-------------------------------------3分

     （Ⅱ）解：如图，以D为原点分别以DA、DC、DD1为

    x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则有

    D1（0，0，2），E（2，1，2），F（0，2，1），

    ∴，

          设平面的法向量为

         则由，和，得，

         取，得，，∴ ------------------------------6分

    又平面的法向量为（0，0，2）

    故；

        ∴截面与底面所成二面角的余弦值为. ------------------9分

    （Ⅲ）解：设所求几何体的体积为V，

            ∵～，，，

            ∴，，

           ∴，

    --------------------------11分

    故V棱台

                            

         ∴V=V正方体-V棱台. ------------------14分

     

    21．解：（Ⅰ）由题意，在[]上递减，则解得

    所以，所求的区间为[-1，1]         ………………………4分

    （Ⅱ）取则，即不是上的减函数。

    取，

    即不是上的增函数

    所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数。-------9分

    （Ⅲ）若是闭函数，则存在区间[]，在区间[]上，函数的值域为[]，即，为方程的两个实数根，

    即方程有两个不等的实根。

    当时，有，解得。

    当时，有，无解。

    综上所述，---------------------------------------------14分


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