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如图，A为椭圆上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F₁、F₂，当AC垂直于x轴时，恰好有AF₁∶AF₂＝3∶1．

(Ⅰ)求椭圆的离心率；

(Ⅱ)设．

①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时，求λ₁＋λ₂的值；

②当A点为该椭圆上的一个动点时，试判断是λ₁＋λ₂否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由．

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如图，A为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F₁、F₂，当AC垂直于x轴时，AF₁=3AF₂．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设

AF1

=λ1

F1B

 ，   

AF2

=λ2

F2C

，证明：当A点在椭圆上运动时，λ₁+λ₂是定值．

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一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分；每个小题给出四个选项，只有一项符合要求）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

B

A

B

D

B

B

B

A

D

二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）。

11、；12、；13、；14、（）；15、①③④

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）.

16.解：（1）经过各交叉路口遇到红灯，相当于独立重复试验，∴恰好遇到3次红灯概率为……………………………………………………（6分）

   （2）记“经过交叉路口遇到红灯”事件为A，张华在第1、2个交叉路口未遇到红灯，在第3个交叉路口遇到红灯的概率为：

………………………………………………………（12分）

17.解：（1）∵

∴

又，∴　……………………………………………………2分

又的等比中项为2，∴

而，∴，∴，…………………………………4分

∴，

∴………………………………………………………6分

（2）……………………………………………………8分

由∴

∴或………………………………………………………………10分

故　　………………………………………………………12分

18.（1）解：由得

∵

∴

∴

∴    ∴ 

    ∴……………………………………………8分

（2）

……………………12分

19.解法一（几何法）

（1）证明：∵E是CD中点

∴ED=AD=1

∴∠AED=45°

同理∠CEB=45°

∴∠BEA=90°  ∴EB⊥EA

∵平面D₁AE⊥平面ABCE

∴EB⊥平面D₁AE，AD₁平面D₁AE

∴EB⊥AD₁……4分

（2）设O是AE中点，连结OD₁，因为平面

　　过O作OF⊥AB于F点，连结D₁F，则D₁F⊥AB，∴∠D₁FO就是二面角D₁-AB-E的平面角.

　　在Rt△D₁OF中,D₁O=,OF=

∴

∴,即二面角D₁-AB-E等于………………………9分

（3）延长FO交CD于G，过G作GH⊥D₁F于H点，

∵AB⊥平面D₁FG  ∴GH⊥平面D₁BA，

∵CE//AB   ∴CE//平面D₁BA.

∴C到平面D₁BA的距离等于GH.

又D₁F=

∵FG?D₁O=D₁F?GH

∴GH=　　即点　　　………………………13分　

另解：在Rt△BED₁中，BD₁=. 又AD₁=1，AB=2

∴   ∴∠BD₁A=90°  ∴

设点C到平面ABD₁的距离为h　则

∴  

∴…………………………………13分

解法二：（向量法）

（1）证明：取AE的中点O，AB的中点F，连结D₁O、OF，则OF//BE。

∵　DE=DA=1  ∴∠AED=45°

 同理∠BEC=45° ∴∠BEA=90° ∴BE⊥EA  ∴OF⊥AE 

由已知D₁O⊥EA 

又平面O₁AE⊥平面ABCE，∴D₁O⊥平面ABCE，以O为坐标原点，OF、OA、OD₁所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系。则B（），E（），D₁（），A（），C（）

∴?=（）?（）=0

∴ ………………………………………………4分

（2）解：设平面ABD₁的一个法向量为

则

令，则y=1，z=1

∴  …………………………………………………………………6分

∵ OD_1­⊥平面ABCE.

∴是平面ABE的一个法向量.

∴即二面角D₁-AB-E等于.  ………………………9分

（3）设点C到平面ABD₁的距离为d，

则……………………………………………………………13分

20.解：（1）因为在区间（，-2]上单调递增，在区间[-2，2]上单调递减，所以方程f′(x)的两根满足，…………2分

由，得，所以，而，故b=0………………4分

则,从而

故……………………………………………………………………6分

（2）对任意的t₁,t₂[m-2,m],不等式恒成立，等价于在区间[m-2,m]上，当0＜m2时，[m-2,m][ -2,2]，所以在区间[m-2,m]上单调递减，

∴， ……………………………………………9分

解得　……………………………………………………………………11分

又，∴，∴m的最小值是　……………………………………13分

21.解：（1）当AC垂直于x轴时，  由椭圆定义，有

∴，　　………………………………………………………………2分

在Rt△AF₁F_2­中，

∴  ∴  ∴…………………………………………4分

（2）由得：∴

∴  ∴  ∴椭圆方程为

即   设,,

(i)若直线AC的斜率存在，则直线AC方程为

∴  代入椭圆方程有：

∵  ∴

由韦达定理得：所以 ………………………8分

于是 同理可得：

故……………………………………………………………………12分

（ii）若直线AC⊥x轴，，，，这时，

综上可知，是定值6　　…………………………………………………………13分