题目列表(包括答案和解析)
（本小题满分16分）
已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线
上，其中O为坐标原点，设圆C是
的外接圆（点C为圆心）（1）求圆C的方程；（2）设圆M的方程为
，过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE、PF，切点为E、F，求
的最大值和最小值
（本小题满分16分）已知函数
在区间
上的最小值为
，令
，
，求证：
（本小题满分16分）某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交a元（1≤a≤3）的管理费，预计当每件商品的售价为
元（8≤x≤9）时，一年的销售量为(10－x)2万件．（1）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L(x)；
（2）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最大值M(a)．
（本小题满分16分）设数列
的前n项和为
，数列
满足: 
,且数列的前
n项和为
.
(1) 求
的值；
(2) 求证：数列
是等比数列；
(3) 抽去数列中的第1项，第4项，第7项，……，第3n-2项，……余下的项顺序不变，组成一个新数列
，若的前n项和为
，求证：
.
（本小题满分16分）某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交a元（1≤a≤3）的管理费，预计当每件商品的售价为
元（8≤x≤9）时，一年的销售量为(10－x)2万件．（1）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L(x)；（2）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最大值M(a)．
一、填空题：
1．
； 2．
； 3．
； 4．
； 5．
；
6．
； 7．
8．
； 9．21； 10．
；
11．
；12．
； 13．
； 14．
二、解答题：
15．（1）编号为016； ----------------------------3分
（2）
分组
频数
频率
60.5~70.5
8
0.16
70.5~80.5
10
0.20
80.5~90.5
18
0.36
90.5~100.5
14
0.28
合计
50
1
------------- ----------------------------8分
（3）在被抽到的学生中获二奖的人数是9+7=16人，
占样本的比例是
，即获二等奖的概率约为32%，
所以获二等奖的人数估计为800×32%=256人。有 ------------------------13分
答：获二等奖的大约有256人。 -----------------------------------14分
16．解：（1） B=600，A＋C＝1200， C＝1200 －A，
∴ sinA－sinC＋
cos（A－C）
＝
sinA－
cosA＋［1－2sin2（A－60°）］=，
∴sin（A－60°）［1－
sin（A－60°）］＝0?
-------------------------4分
∴sin（A－60°）＝0或sin（A－60°）＝， 又0°＜A＜120°，
∴A＝60°或105°．??? -------------------------8分
(2) 当A＝60°时，Ｓ△＝ａcsinB＝×4Ｒ2sin360°＝
------------11分
当A＝105°时,?S△＝×4Ｒ2?sin105°sin15°sin60°＝
----------------14分
17．解：（1）如四面体A1-ABC或四面体C1-ABC或四面体A1-ACD或四面体C1-ACD； ---4分
（2）如四面体B1-ABC或四面体D1-ACD； -------------------------8分
（3）如四面体A-B1CD1（3分 ）； -------------------------11分
设长方体的长、宽、高分别为
，则
．---------14分
18．（1）如图，由光学几何知识可知，点
关于
的对称点
在过点
且倾斜角为
的直线
上。在
中，椭圆长轴长
， ----4分
又椭圆的半焦距
，∴
，
∴所求椭圆的方程为
．
-----------------------------7分
（2）路程最短即为上上的点
到圆
的切线长最短，由几何知识可知，应为过原点且与垂直的直线与的交点，这一点又与点
关于对称，∴
，故点的坐标为
．
-------------------------15分
注：用代数方法求解同样分步给分！
19． 解：（1）若
，对于正数
，
的定义域为
，但 的值域
，故
，不合要求． --------------------------2分
若
，对于正数，的定义域为
． -----------------3分
由于此时
，
故函数的值域
．
------------------------------------6分
由题意，有
，由于
，所以
．------------------8分
20．解：（1）依题意数列
的通项公式是
，
故等式即为
，
同时有
，
两式相减可得
------------------------------3分
可得数列
的通项公式是
，
知数列是首项为1，公比为2的等比数列。 ---------------------------4分
（2）设等比数列的首项为，公比为
，则
，从而有：
，
又
，
故
-----------------------------6分
，
要使
是与
无关的常数，必需
， ----------------------------8分
即①当等比数列的公比时，数列是等差数列，其通项公式是
；
②当等比数列的公比不是2时，数列不是等差数列． ------------9分
（3）由（2）知
， ------------------------------------------10分
--------------14分
----------------------------16分
|
是
的中点，
；
---------------------------------------------------------4分
的特征多项式为
，
, -----------------------------------------------------------------------5分
,当
．
----------------------------------------6分
，得
． -------------------------------------7分
．--------------------10分
，∴
， 
，
，三个同向正值不等式相乘得
．------------------------------5分
时原不等式仍然成立．
、
、
、
证；
．-------------------------------------10分
，则
码---------------------------------------------------------------2分
----------------------------------------------4分
的可能取值为2，3，4，5，--------------------------------------5分
，
，
+
． --------------------------------------------------8分
． --------------------------------9分
；所求数学期望是
．----------------------------10分