题目列表(包括答案和解析)
(本小题满分16分)
已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线上,其中O为坐标原点,设圆C是的外接圆(点C为圆心)(1)求圆C的方程;(2)设圆M的方程为,过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE、PF,切点为E、F,求的最大值和最小值
(本小题满分16分)已知函数在区间上的最小值为,令,,求证:
(本小题满分16分)某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交a元(1≤a≤3)的管理费,预计当每件商品的售价为元(8≤x≤9)时,一年的销售量为(10-x)2万件.(1)求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的售价x的函数关系式L(x);
(2)当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L最大,并求出L的最大值M(a).
(本小题满分16分)设数列的前n项和为,数列满足: ,且数列的前
n项和为.
(1) 求的值;
(2) 求证:数列是等比数列;
(3) 抽去数列中的第1项,第4项,第7项,……,第3n-2项,……余下的项顺序不变,组成一个新数列,若的前n项和为,求证:.
(本小题满分16分)某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交a元(1≤a≤3)的管理费,预计当每件商品的售价为元(8≤x≤9)时,一年的销售量为(10-x)2万件.(1)求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的售价x的函数关系式L(x);(2)当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L最大,并求出L的最大值M(a).
一、填空题:
1.; 2.; 3.; 4.; 5.;
6.; 7. 8.; 9.21; 10.;
11.;12.; 13.; 14.
二、解答题:
15.(1)编号为016; ----------------------------3分
(2)
分组
频数
频率
60.5~70.5
8
0.16
70.5~80.5
10
0.20
80.5~90.5
18
0.36
90.5~100.5
14
0.28
合计
50
1
------------- ----------------------------8分
(3)在被抽到的学生中获二奖的人数是9+7=16人,
占样本的比例是,即获二等奖的概率约为32%,
所以获二等奖的人数估计为800×32%=256人。有 ------------------------13分
答:获二等奖的大约有256人。 -----------------------------------14分
16.解:(1) B=600,A+C=1200, C=1200 -A,
∴ sinA-sinC+ cos(A-C)
=sinA- cosA+[1-2sin2(A-60°)]=,
∴sin(A-60°)[1- sin(A-60°)]=0? -------------------------4分
∴sin(A-60°)=0或sin(A-60°)=, 又0°<A<120°,
∴A=60°或105°.??? -------------------------8分
(2) 当A=60°时,S△=acsinB=×4R2sin360°= ------------11分
当A=105°时,?S△=×4R2?sin105°sin15°sin60°= ----------------14分
17.解:(1)如四面体A1-ABC或四面体C1-ABC或四面体A1-ACD或四面体C1-ACD; ---4分
(2)如四面体B1-ABC或四面体D1-ACD; -------------------------8分
(3)如四面体A-B1CD1(3分 ); -------------------------11分
设长方体的长、宽、高分别为,则 .---------14分
18.(1)如图,由光学几何知识可知,点关于的对称点在过点且倾斜角为的直线上。在中,椭圆长轴长, ----4分
又椭圆的半焦距,∴,
∴所求椭圆的方程为. -----------------------------7分
(2)路程最短即为上上的点到圆的切线长最短,由几何知识可知,应为过原点且与垂直的直线与的交点,这一点又与点关于对称,∴,故点的坐标为. -------------------------15分
注:用代数方法求解同样分步给分!
19. 解:(1)若,对于正数,的定义域为,但 的值域,故,不合要求. --------------------------2分
若,对于正数,的定义域为. -----------------3分
由于此时,
故函数的值域. ------------------------------------6分
由题意,有,由于,所以.------------------8分
20.解:(1)依题意数列的通项公式是,
故等式即为,
同时有,
两式相减可得 ------------------------------3分
可得数列的通项公式是,
知数列是首项为1,公比为2的等比数列。 ---------------------------4分
(2)设等比数列的首项为,公比为,则,从而有:
,
又,
故 -----------------------------6分
,
要使是与无关的常数,必需, ----------------------------8分
即①当等比数列的公比时,数列是等差数列,其通项公式是;
②当等比数列的公比不是2时,数列不是等差数列. ------------9分
(3)由(2)知, ------------------------------------------10分
--------------14分
----------------------------16分
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