题目列表(包括答案和解析)
（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱
中，已知侧面
与底面
垂直，且
，
，
，
．
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）在平面
内找一点P，使三棱锥
为正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面内的射影为底面的中心），并求此三棱锥体积．
（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱
中，已知侧面
与底面
垂直，且
，
，
，
．
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）在平面
内找一点P，使三棱锥
为正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面内的射影为底面的中心），并求此三棱锥体积．
（本小题满分12分）如图，斜三棱柱
，已知侧面
与底面ABC垂直且∠BCA =90°，∠
，
=2，若二面角
为30°. （Ⅰ）证明
；
（Ⅱ）求
与平面所成角的正切值；
（Ⅲ）在平面
内找一点P，使三棱锥
为正三棱锥，并求P到平面
距离.
（本小题满分12分）如图，斜三棱柱
中，
在底面的射影
恰好是
的中点，侧棱与底面成
角，侧面
与侧面
成
角.
（1）求证：四边形
是矩形；（2）求斜三棱柱的体积.
（本小题满分12分）
如图，斜三棱柱
，已知侧面
与底面
垂直且
，
，
，若二面角
为
，
（1）证明
平面；
（2）求
与平面所成角的正切值；
（3）在平面
内找一点
，使三棱锥
为正三棱锥，并求点到平面
距离.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
A
A
A
D
B
C
C
B
C
B
13. 
14. 2 15. 
16. ①②③
17. 解：(1)由
得：
， 2分
即b = c = 1－a，
4分
当
时，
，
因为
，有1－a > 0，
，得a = －1
故
8分
(2)∵
是奇函数，且将
的图象先向右平移
个单位，再向上平移1个单位，可以得到
的图象，∴
是满足条件的一个平移向量． 12分
18. 解：（1）由等可能事件的概率意义及概率计算公式得
； 5分
（2）设选取的5只福娃恰好距离组成完整“奥运会吉祥物”差两种福娃记为事件B,
依题意可知，至少差两种福娃，只能是差两种福娃，则
11分
故选取的5只福娃距离组成完整“奥运会吉祥物”至少差两种福娃的概率为
12分
19. 解：(1)
即
又平面
平面
………………4分
（2）
∴点
到平面
的距离即求点
到平面的距离
取
中点
，连结
∵
为等边三角形
∴
又由（1）知
又
∴点到平面的距离即点到平面的距离为
………………8分
（3）二面角
即二面角
过作
，垂足为点
,连结
由（2）及三垂线定理知
∴
为二面角的平面角
由
∽
得
…12分
解法2：(1)如图，取
中点
，连结
∵为等边三角形
又∵平面平面 
建立空间直角坐标系
，则有
,
即
………………4分
(2)设平面
的一个法向量为
由
得
令
得
∴点到平面的距离即求点到平面的距离
………………………………8分
(3)平面的一个法向量为
设平面
的一个法向量为
，
由
得
令
得
∴二面角的大小为
…………………………………12分
20. 解：（1）由题意知
当n=1时，
当
两式相减得
（
）
整理得：
（） ………………………………………………（4分）
∴数列{an}是
为首项，2为公比的等比数列.
……………………………………（5分）
（2）
…………………………………………………………（6分）
……
①
…… ②
①－②得
……………(9分)
………………………(11分)
………………………………………………………(12分)
21. 解：（1）由
得
，∴
设
，则
,
∴
即
同理，有
,∴
为方程
的两根
∴
. 设
，则
①
②
由①、②消去
得点
的轨迹方程为
. ………………………………6分
（2）
又
∴当
时，
. ………………………………12分
22. 解：（1）
………………………………………………………………………2分
令
得
令
得
∴
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
…………5分
（2）由题
得
即
令
……………………6分
令
得
或
……………………………………………7分
当
即
时
－
此时，
，，有一个交点；…………………………9分
当
即
时，
＋
―
,
∴当即
时,有一个交点；
当
即
时，有两个交点；
当
时，
，有一个交点．………………………13分
综上可知，当
或时，有一个交点；
当时，有两个交点．…………………………………14分
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