题目列表(包括答案和解析)
已知椭圆=1(a>b>0)的一个顶点的坐标为A(0,-1),且右焦点F到直线x-y+=0的距离为3.
(Ⅰ)求该椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在斜率不为0的直线l,使其与已知椭圆交于M、N两点,满足AM⊥AN,且|AM|=|AN|.
(Ⅲ)若斜率为k的直线l与椭圆交于M,N两点,使得|AM|=|AN|,求k的取值范围.
已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为.
(1)若圆(x-2)2+(y-1)2=与椭圆相交于A、B两点且线段AB恰为圆的直径,求椭圆W方程;
(2)设L为过椭圆右焦点F的直线,交椭圆于M、N两点,且L的倾斜角为60°.求的值.
(3)在(1)的条件下,椭圆W的左右焦点分别为F1、F2,点R在直线l:x-y+8=0上.当∠F1RF2取最大值时,求的值.
已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为e.直线l:y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A、B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,P是点F1关于直线l的对称点,设=λ.
(Ⅰ)证明:λ=1-e2;
(Ⅱ)若,△PF1F2的周长为6;写出椭圆C的方程.
已知椭圆C:(a>b>0),点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,点P(2,)在直线x=上,且|F1F2|=|PF2|,直线l:y=kx+m为动直线,且直线l与椭圆C交于不同的两点A、B.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若在椭圆C上存在点Q,满足(O为坐标原点),求实数λ的取值范围
已知椭圆C:(a>b>0),点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,点P(2,)在直线x=上,且|F1F2|=|PF2|,直线l:y=kx+m为动直线,且直线l与椭圆C交于不同的两点A、B.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若在椭圆C上存在点Q,满足(O为坐标原点),求实数λ的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当λ取何值时,△ABO的面积最大,并求出这个最大值.
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.
CABCA,BCDDC
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分 ,共25分,
11. 12; 12. ; 13. 8; 14. x-2y-z+3=0; 15. ②④.
三、解答题:本大题共6小题,共75分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.解:(Ⅰ) 由已知 , ∴ ,
又 ΔABC是锐角三角形, ∴ ………………………………6分
(Ⅱ)
………………………………12分
17.解法一:(Ⅰ)∵,
且 ∴ , ……………………3分
∵
∴ ……………………6分
(Ⅱ)取的中点,则,连结,
∵,∴,从而
作,交的延长线于,连结,则由三垂线定理知, AC⊥MH,
从而为二面角的平面角 …………………8分
直线与直线所成的角为,∴ …………………9分
在中,由余弦定理得
在中,
在中,
在中,
故二面角的平面角大小为 …………………12分
解法二:(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)在平面内,过作,建立空间直角坐标系(如图)
由题意有,设,
则 ………5分
由直线与直线所成的角为,得
,即,解得………7分
∴,设平面的一个法向量为,
则,取,得 ……………9分
又 平面的法向量取为 ……………10分
设与所成的角为,则,
故二面角的平面角大小为 ……………12分
18. 解:(I)记“幸运观众获得奖金5000元”为事件M,即前两个问题选择回答A、C且答对,最后在回答问题B时答错了.
故 幸运观众获得奖金5000元的概率为 ………………6分
(II) 设幸运观众按A→B→C顺序回答问题所得奖金数为随机变量ξ,则ξ的取值可以为0元、1000元、3000元和7000元,其分布列为
0
1000
3000
7000
P
∴ 元. ………………9分
设幸运观众按C→B→A顺序回答问题所得奖金数为随机变量η,则η的取值可以为0元、4000元、6000元和7000元,其分布列为
η
0
4000
6000
7000
P
∴ 元. ……11分
故 乙观众的选择所获奖金期望较大. ………………12分
19.解:(1)∵ ……………………2分
由已知对恒成立,即对恒成立
又 ∴ 为所求 …………………………5分
(2)取, ∵ , ∴
由已知在上是增函数,即,
也就是 即 …………8分
另一方面,设函数,则
∴ 在上是增函数,又
∴ 当时,
∴ ,即
综上所述,………………………………………………13分
20.解:(Ⅰ) 由题意可知,平面区域如图阴影所示. …3分
设动点为,则
,即.
由 知,x-y<0,即x2-y2<0.
所以 y2-x2=4(y>0),即为曲线的方程 …………6分
(Ⅱ)设,,则以线段为直径的圆的圆心为.
因为以线段为直径的圆与轴相切,所以半径 ,
即 ………………………8分
因为直线AB过点,当AB ^ x轴时,不合题意.
所以设直线AB的方程为 y=k(x-2).
代入双曲线方程y2-x2=4 (y>0)得: (k2-1)x2-4k2x+(8k2-4)=0.
因为直线l与双曲线交于A,B两点,所以k≠±1.于是
x1+x2=,x1x2=.
∴ |AB|=
∴
化简得:k4+2k2-1=0 ……………………………11分
解得: k2=-1 (k2=--1不合题意,舍去).
由△=(4k2)2-4(k2-1)(8k2-4)=3k2-1>0,又由于y>0,所以-1<k<- .
所以直线l存在,其斜率为 k=-. …………………13分
21. 解:(1) 因为 ,所以,
于是: , 即是以2为公比的等比数列.
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