题目列表(包括答案和解析)
(本小题满分13分)有一问题,在半小时内,甲能解决它的概率是0.5,乙能解决它的概率是,
如果两人都试图独立地在半小时内解决它,计算:w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(1)两人都未解决的概率;
(2)问题得到解决的概率。
(本小题满分13分) 已知是等比数列, ;是等差数列, , .
(1) 求数列、的通项公式;
(2) 设+…+,…,其中,…试比较与的大小,并证明你的结论.
(本小题满分13分) 现有一批货物由海上从A地运往B地,已知货船的最大航行速度为35海里/小时,A地至B地之间的航行距离约为500海里,每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6),其余费用为每小时960元.
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/小时)的函数;
(2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶?
(本小题满分13分)
如图,ABCD的边长为2的正方形,直线l与平面ABCD平行,g和F式l上的两个不同点,且EA=ED,FB=FC, 和是平面ABCD内的两点,和都与平面ABCD垂直,
(Ⅰ)证明:直线垂直且平分线段AD:w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅱ)若∠EAD=∠EAB=60°,EF=2,求多面
体ABCDEF的体积。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.
CABCA,BCDDC
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分 ,共25分,
11. 12; 12. ; 13. 8; 14. x-2y-z+3=0; 15. ②④.
三、解答题:本大题共6小题,共75分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.解:(Ⅰ) 由已知 , ∴ ,
又 ΔABC是锐角三角形, ∴ ………………………………6分
(Ⅱ)
………………………………12分
17.解法一:(Ⅰ)∵,
且 ∴ , ……………………3分
∵
∴ ……………………6分
(Ⅱ)取的中点,则,连结,
∵,∴,从而
作,交的延长线于,连结,则由三垂线定理知, AC⊥MH,
从而为二面角的平面角 …………………8分
直线与直线所成的角为,∴ …………………9分
在中,由余弦定理得
在中,
在中,
在中,
故二面角的平面角大小为 …………………12分
解法二:(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)在平面内,过作,建立空间直角坐标系(如图)
由题意有,设,
则 ………5分
由直线与直线所成的角为,得
,即,解得………7分
∴,设平面的一个法向量为,
则,取,得 ……………9分
又 平面的法向量取为 ……………10分
设与所成的角为,则,
故二面角的平面角大小为 ……………12分
18. 解:(I)记“幸运观众获得奖金5000元”为事件M,即前两个问题选择回答A、C且答对,最后在回答问题B时答错了.
故 幸运观众获得奖金5000元的概率为 ………………6分
(II) 设幸运观众按A→B→C顺序回答问题所得奖金数为随机变量ξ,则ξ的取值可以为0元、1000元、3000元和7000元,其分布列为
0
1000
3000
7000
P
∴ 元. ………………9分
设幸运观众按C→B→A顺序回答问题所得奖金数为随机变量η,则η的取值可以为0元、4000元、6000元和7000元,其分布列为
η
0
4000
6000
7000
P
∴ 元. ……11分
故 乙观众的选择所获奖金期望较大. ………………12分
19.解:(1)∵ ……………………2分
由已知对恒成立,即对恒成立
又 ∴ 为所求 …………………………5分
(2)取, ∵ , ∴
由已知在上是增函数,即,
也就是 即 …………8分
另一方面,设函数,则
∴ 在上是增函数,又
∴ 当时,
∴ ,即
综上所述,………………………………………………13分
20.解:(Ⅰ) 由题意可知,平面区域如图阴影所示. …3分
设动点为,则
,即.
由 知,x-y<0,即x2-y2<0.
所以 y2-x2=4(y>0),即为曲线的方程 …………6分
(Ⅱ)设,,则以线段为直径的圆的圆心为.
因为以线段为直径的圆与轴相切,所以半径 ,
即 ………………………8分
因为直线AB过点,当AB ^ x轴时,不合题意.
所以设直线AB的方程为 y=k(x-2).
代入双曲线方程y2-x2=4 (y>0)得: (k2-1)x2-4k2x+(8k2-4)=0.
因为直线l与双曲线交于A,B两点,所以k≠±1.于是
x1+x2=,x1x2=.
∴ |AB|=
∴
化简得:k4+2k2-1=0 ……………………………11分
解得: k2=-1 (k2=--1不合题意,舍去).
由△=(4k2)2-4(k2-1)(8k2-4)=3k2-1>0,又由于y>0,所以-1<k<- .
所以直线l存在,其斜率为 k=-. …………………13分
21. 解:(1) 因为 ,所以,
于是: , 即是以2为公比的等比数列.
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