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已知双曲线的右顶点为A（2，0），右焦点为F、O为坐标原点，点F，A到渐近线的距离之比为，过点B（0，2）且斜率为k的直线l与该双曲线交于不同的两点P，Q．
（I）求双曲线的方程及k的取值范围；
（II）是否存在常数k，使得向量垂直？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．

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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

             CABCA，BCDDC

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，

11. 12； 12. ； 13. 8； 14. x－2y－z+3=0；  15. ②④.

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.解：(Ⅰ) 由已知  ，   ∴    ，

又   ΔABC是锐角三角形，  ∴     ………………………………6分

(Ⅱ)

 　　　　　　　　　 ………………………………12分

17.解法一：（Ⅰ）∵，

且  ∴ ，   ……………………3分

∵ 

∴                  ……………………6分

（Ⅱ）取的中点，则，连结，

∵，∴，从而

作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知， AC⊥MH，

从而为二面角的平面角            …………………8分

直线与直线所成的角为，∴   …………………9分

在中，由余弦定理得

    在中，

在中，

在中，

故二面角的平面角大小为       …………………12分

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）

由题意有，设，

则 ………5分

由直线与直线所成的角为，得

，即，解得………7分

∴，设平面的一个法向量为，

则，取，得         ……………9分

又  平面的法向量取为                   ……………10分

设与所成的角为，则，

故二面角的平面角大小为            ……………12分

18.　解：(I)记“幸运观众获得奖金5000元”为事件M，即前两个问题选择回答A、C且答对，最后在回答问题B时答错了.

        故   幸运观众获得奖金5000元的概率为        ………………6分

(II) 设幸运观众按A→B→C顺序回答问题所得奖金数为随机变量ξ，则ξ的取值可以为0元、1000元、3000元和7000元，其分布列为

0

1000

3000

7000

P

∴  元. ………………9分

设幸运观众按C→B→A顺序回答问题所得奖金数为随机变量η，则η的取值可以为0元、4000元、6000元和7000元，其分布列为

_η

0

4000

6000

7000

P

∴ 元. ……11分

故   乙观众的选择所获奖金期望较大.                   ………………12分

19.解：（1）∵     ……………………2分

由已知对恒成立，即对恒成立

又         ∴ 为所求        …………………………5分

     （2）取， ∵ ，  ∴ 

由已知在上是增函数，即，

也就是   即                …………8分

另一方面，设函数，则

∴   在上是增函数，又

∴   当时，

∴    ，即 

综上所述，………………………………………………13分

20.解：(Ⅰ) 由题意可知，平面区域如图阴影所示． …3分

设动点为，则

，即．

由 知，x－y<0，即x²－y²<0．

所以  y²－x²＝4(y>0)，即为曲线的方程　　…………6分

(Ⅱ)设，，则以线段为直径的圆的圆心为.

因为以线段为直径的圆与轴相切，所以半径 ，

即                  ………………………8分

因为直线AB过点，当AB ^ x轴时，不合题意．

所以设直线AB的方程为    y＝k(x－2)．

代入双曲线方程y²－x²＝4 (y＞0)得:      (k²－1)x²－4k²x＋(8k²－4)＝0．

因为直线l与双曲线交于A，B两点，所以k≠±1．于是

x₁＋x₂＝，x₁x₂＝．

∴   |AB|=

∴  

化简得：k⁴＋2k²－1＝0                  ……………………………11分

解得: k²＝－1  （k²＝－－1不合题意，舍去）．

由△＝(4k²)²－4(k²－1)(8k²－4)＝3k²－1＞0，又由于y＞0，所以－1<k<－ ．

所以直线l存在,其斜率为 k＝－.        …………………13分

21.　解：(1) 因为  ,所以,

于是: , 即是以2为公比的等比数列.