题目列表(包括答案和解析)
（本小题满分12分）如图，直三棱柱
中，
、
分别为
、
的中点，
平面
（I）证明：
（II）设二面角
为60°，求与平面
所成的角的大小。
（本小题满分12分）
如图，直三棱柱A1B1C1—ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB.
D、E分别为棱C1C、B1C1的中点.
(１)求二面角B—A1D—A的平面角余弦值；
(2)在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A1BD？
若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由.
（本小题满分12分）
如图，直三棱柱
中， AB=1，
，∠ABC=60
.
(Ⅰ)证明：
；
（Ⅱ）求二面角A—
—B的大小。
（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC-A
BC 中，AC=BC， AA
=AB，D为BB
的中点，E为AB上的一点，AE=3 EB
（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB与CD的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线AB与CD的夹角为45°,求二面角A-AC-B的大小
（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC-A
BC 中，AC=BC， AA
=AB，D为BB
的中点，E为AB上的一点，AE=3 EB
（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB与CD的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线AB与CD的夹角为45°,求二面角A-AC-B的大小
一、选择题：（本大题共10个小题；每小题5分，共50分。）
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
C
B
D
C
A
B
C
B
D
B
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）
11. 
12. 
13.
14. 
15. [-1,1] 
三、解答题：（本大题共6小题，共75分。）
16.解：（I）∵u∥v，∴即
------（2分）
又
---------（5分）
（II）由（I）知
------------------------（7分）
------------------------------------------------（10分）
又
∴当A－
=0，即A= 时，
的最大值为
--------------（12分）
17. 解：（Ⅰ）设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，则A、B相互独立，且P（A）＝
，从而甲命中但乙未命中目标的概率为
------------------------（5分）
（Ⅱ）设A1表示甲在两次射击中恰好命中k次，B1表示乙有两次射击中恰好命中l次。依题意有
由独立性知两人命中次数相等的概率为
18. 解法一：（1）分别延长AC，A1D交于G. 过C作CM⊥A
∵BC⊥平面ACC
∴BM⊥A
平面A
∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，
,
即二面角B―A1D―A的大小为
------------------------（6分）
（2）在线段AC上存在一点F，使得EF⊥平面A1BD其位置为AC中点，证明如下：
∵A1B
∵由（1）BC⊥平面A
∵EF在平面A
同理可证EF⊥BD, ∴EF⊥平面A1BD------------------------（11分）
∵E为定点，平面A1BD为定平面,点F唯一------------------------（12分）
解法二：（1）∵A1B
C（0，0，0） B（2，0，0） A（0，2，0）
C1（0，0，2） B1（2，0，2） A1（0，2，2）
D（0，0，1） E（1，0，2） ------------------------（2分）
设平面A1BD的法向量为
平面ACC
=（1，0，0）
------------------------（4分）
即二面角B―A1D―A的大小为
------------------------（6分）
（2）在线段AC上存在一点F，设F（0，y，0）使得EF⊥平面A1BD
欲使EF⊥平面A1BD 由（2）知，当且仅当
//
---------------（9分）
∴存在唯一一点F（0，1，0）满足条件. 即点F为AC中点------------（12分）
19．解：（1）
，
-----------------（2分）
因为函数
在
处的切线斜率为-3，
所以
，即
，------------------------（3分）
又
得
。------------------------（4分）
函数在
时有极值，所以
，-------（5分）
解得
，------------------------------------------（7分）
所以
．------------------------------------（8分）
（2）因为函数在区间
上单调递增，所以导函数
在区间上的值恒大于或等于零，------------------------------------（10分）
则
得
，
所以实数
的取值范围为
．----------------------------------（13分）
20.解： (1)由
知，数列{
}为等差数列，设其公差为d,则d=
,
故
.------------------------（4分）
(2)由
≥0,解得n≤5.故
当n≤5时，
=|
|+|
|+…+||=++…+=
;---------------（6分）
当n>5时，=||+||+…+||=++…+
-…-=
.--（8分）
(3)由于
=
,
所以
,------（10分）
从而
>0. ----------------------（11分）
故数列
是单调递增的数列，又因
是数列中的最小项，要使
恒成立，则只需
成立即可，由此解得m<8,由于m∈Z,
故适合条件的m的最大值为7. ------------------------（13分）
21. 解：（Ⅰ）设双曲线方程为
（
，
），
则
，
，∴
．------------------------（2分）
又
在双曲线上，∴
．
联立①②③，解得
，
．∴双曲线方程为
．--------（5分）
注：对点M用第二定义，得
，可简化计算．
（Ⅱ）
，设
，
，m：
，则
由
，得
，
．--------------------（7分）
由
，得
．
∴
，
．
．
由，
，，---------------------（9分）
消去
，
，
得
．------------------------（10分）
∵
，函数
在
上单调递增，
∴
，∴
．------------------------（11分）
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