如图，P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，其中AB=2，PA=

6

．
（1）求证：PA⊥B₁D₁；
（2）求平面PAD与平面BDD₁B₁所成的锐二面角θ的大小；
（3）求B₁到平面PAD的距离．

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如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，线段B₁C上有一个动点P线段A₁C₁有两个动点E、F，且EF=

2

2

a，现有如下四个结论：1点E、F在棱A₁C₁上运动时，三棱锥B-CEF的体积为定值；2点P在直线B₁C上运动时，直线A₁P与平面A₁C₁D所成角的大小不变；3点P在直线B₁C上运动时，直线AD₁与A₁P所成角的大小不变；4点M是底面ABCD所在平面上的一点，且到直线AD与直线CC₁的距离相等，则M点的轨迹是抛物线．
其中正确结论的序号是

 

．

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如图，P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，其中AB=2，PA=

6

．
（1）求证：PA⊥B₁D₁；
（2）求平面PAD与平面BDD₁B₁所成锐二面角的余弦值．

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如图，P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，其中AB=2，PA=

6

．平面PAD与平面BDD₁B₁所成的锐二面角θ的余弦值为（　　）

A、 10 10

B、 5 5

C、 15 5

D、 10 5

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15、如图：点P在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的面对角线BC₁上运动，则下列四个命题：
①三棱锥A-D₁PC的体积不变；
②A₁P∥面ACD₁；
③DP⊥BC₁；
④面PDB₁⊥面ACD₁．
其中正确的命题的序号是

①②④

．

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一、选择题

1―5  ACDAA    6―10  BACDB    11―12  AC

二、填空题

13．-    14．12       15．-4或-26     16．②④

三、解答题

17．（1）由题意：

又A+B

   （2）当A+B=时，2A+2B=

按向量平移后得到函数的图象；故     10分

18．解：（1）ξ的可能取值为1，2，3，4

   （2）由题意，两人各自从自己箱子里任取一球比颜色共有C（种）不同情形，每种情形都是等可能的，记甲获胜为事件A，

则P（A）=

甲获胜的概率小于乙获胜的概率，不公平。                                                    12分

19．解法：（1）连结AC交BD于点O，则PO⊥面ABCD，又AC⊥BD

  PA⊥BD，₁D₁，PA⊥B₁D₁

    （2）AO⊥BD，AO⊥PO，AO⊥面PBD，过点O作OM⊥PD于M，连结AM，则AM⊥PD

         ∠AMO就是二面角A－PD－O的平面角θ，又AB=2，

PA=

                                        8分

   （3）分别取AD、BC中点E、F，作平面PEF，交底面于两点S、S₁交B₁C₁于点B₂，过点B₂作B₂B₃⊥PS于点B₃，则B₂B₃⊥面PAD，又B₁C₁//AD，B₂B₃的长就是点B₁到平面PAD的距离，PO=AA₁=2

          EF= 

                                  12分

    _{方法二，坐标法略}

_{20．解：（1）当x=1时，}

   _{且x=1时也符合上式}

_{故                                                                                                              6分}

   _{（2）该商场预计第x月销售该商品的月利润为}

_（舍）

_{当1≤x＜5时，                                                                                                          10分}

当x=5时，元                                                          10分

综上，商场2009年第5月份的月利润最大为3125元。                                       12分

21．解：（1）以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，

设|CA|+|CB|=2a(a＞3)，点c的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且焦距2c=|AB|=6

此时|PA|=|PB|，P（0，±4）

                                                            5分

   （2）不妨设A点坐标为A（-3，0），M（x₁,y₁）,N(x₂,y₂)

    ①当直线MN的倾斜角不为90°时，设其方程为：

    代入椭圆方程化简得：

显然

由椭圆第二定义得：

     =25+

只要考虑：的最小值，即1

显然当k=0时，的最小值16。                                                         10分

   ②当直线MN的倾角为90°时，x₁=x₂=－3，得=

           这样的M、N不存在

即的最小值集合为空集。                                                         12分

22．解（1）：由

   即数列为公正比的等比数列

                                                                                                         4分

   （2）

即要证明：成立

令

即是减函数，故

都成立

故成立                                                                8分

   （3）

       利用错位相减法求得：

       故                                                                          12分