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如图，已知椭圆C：

x2

b2

+

y2

a2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁（0，c）、F₂（0，-c）（c＞0），抛物线P：x²=2py（p＞0）的焦点与F₁重合，过F₂的直线l与抛物线P相切，切点E在第一象限，与椭圆C相交于A、B两点，且

F2B

=λ

AF2

．
（1）求证：切线l的斜率为定值；
（2）若动点T满足：

ET

=μ(

EF1

+

EF2

)，μ∈(0，

1

2

)，且

ET

•

OT

的最小值为-

5

4

，求抛物线P的方程；
（3）当λ∈[2，4]时，求椭圆离心率e的取值范围．

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如图，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁，F₂，其上顶点为A．已知△F₁AF₂是边长为2的正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（-4，0）任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记

MQ

=-λ•

QN

若在线段MN上取一点R，使得

MR

=λ•

RN

，试判断当直线l运动时，点R是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线的方程；若不在，请说明理由．

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如图，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左顶点，右焦点分别为A、F，右准线为m．圆D：x²+y²+x-3y-2=0．
（1）若圆D过A、F两点，求椭圆C的方程；
（2）若直线m上不存在点Q，使△AFQ为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围．
（3）在（1）的条件下，若直线m与x轴的交点为K，将直线l绕K顺时针旋转

π

4

得直线l，动点P在直线l上，过P作圆D的两条切线，切点分别为M、N，求弦长MN的最小值．

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一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．

1-5：DBADC； 6-10：BACDC； 11-12： BC.

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．

13．3； 14．-4； 15．1； 16．．

三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解：（Ⅰ）∵l₁∥l₂，，

∴，????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

∴，

∴．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵且，

∴，∴，当且仅当时取＂＝＂．??????????? 8分

∵，∴，?????????????????????????????????????????? 10分

∴，当且仅当时取＂＝＂．

故△ABC面积取最大值为．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

18．解：（Ⅰ）ξ=3表示取出的三个球中数字最大者为3．

①三次取球均出现最大数字为3的概率；??????????????????????????????????????? 1分

②三次取球中有2次出现最大数字3的概率；???????????????????? 3分

③三次取球中仅有1次出现最大数字3的概率．????????????????? 5分

∴P(ξ=3)=P₁＋P₂＋P₃=．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）在ξ＝k时, 利用（Ⅰ）的原理可知：

（k=1、2、3、4）．???????? 8分

则ξ的概率分布列为：

ξ

1

2

3

4

P

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

∴ξ的数学期望Eξ=1×＋2×＋3×＋4× = ．???????????????????????????????? 12分

19．（Ⅰ）证明：∵四边形AA₁C₁C是菱形，∴AA₁＝A₁C₁＝C₁C＝CA＝1，∴△AA₁B是等边三角形，设O是AA₁的中点，连接BO，则BO⊥AA₁． 2分

∵侧面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，∴BO⊥平面AA₁C₁C，菱形AA₁C₁C面积为，知C到AA₁的距离为，，∴△AA₁C₁是等边三角形，且C₁O⊥AA₁，又C₁O∩BO=O．

∴AA₁⊥面BOC₁，又BC₁Ì面BOC₁．∴AA₁⊥BC₁．???????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA、OC₁、OB两两垂直，以O为原点，建立如图空间直角坐标系，则，，，，．则，，，．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

设是平面ABC的一个法向量，

则即

令，则．设A₁到平面ABC的距离为d．

∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ABC的一个法向量是，又平面ACC₁的一个法向量．   9分

∴．???????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∴二面角B－AC－C₁的余弦值是．???????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

20．解：（Ⅰ），对称轴方程为，故函数在[0,1]上为增函数，∴．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

当时，．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

∵            ①

∴       ②

②-①得，即，?????????????????????????????????????????????????? 4分

则，∴数列是以为首项，为公比的等比数列．

∴，∴．?????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵，∴．

∵???????????????????????????????????????????????????????? 7分

可知：当时，；当时，；当时，．

即?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

可知存在正整数或6，使得对于任意的正整数n，都有成立．???????????? 12分

21．解：（Ⅰ）设，，，

，，，

，，

．∵，

∴，∴，∴．??????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

则N(c，0)，M(0，c)，所以，

∴，则，．

∴椭圆的方程为．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）∵圆O与直线l相切，则，即,????????????????????????????????? 5分

由消去y得．

∵直线l与椭圆交于两个不同点，设，

，

∴，，???????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

∴，

由，，．?????????????????? 8分

．???????????????????????????????????????? 9分

（或）．

设，则，，，

令，则，

∴在时单调递增，????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∴S关于μ在区间单调递增，，，

∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

（或，

∴S关于u在区间单调递增，?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∵，，．）????????????????????????????????????????????????????????? 12分

22．解：（Ⅰ）因为，，则，     1分

当时，；当时，．

∴在上单调递增；在上单调递减，

∴函数在处取得极大值．????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

∵函数在区间（其中）上存在极值，

∴解得．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

（Ⅱ）不等式，即为，?????????????????????????????????????????? 4分

记，∴，??????? 5分

令，则，∵，∴，在上递增，

∴，从而，故在上也单调递增，

∴，

∴．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：恒成立，即，??????????? 8分

令则，????????????????????????????????????????????????????? 9分

∴，

，

，

………

，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

叠加得：

．???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

则，

∴.????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 14分