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如图,四棱锥的底面是边长为的菱形,,平面,.

（1）求直线PB与平面PDC所成的角的正切值;
（2）求二面角A－PB－D的大小.

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如图四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，PA⊥平面ABCD，设E为BC的中点，二面角P-DE-A为45°．
（1 ） 求点A到平面PDE的距离；
（2 ） 在PA上确定一点F，使BF∥平面PDE；
（3 ） 求平面PDE与平面PAB所成的不大于直二面角的二面角的大小（用反三角函数表示）．

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如图四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，PA⊥平面ABCD，设E为BC的中点，二面角P-DE-A为45°．
（1 ） 求点A到平面PDE的距离；
（2 ） 在PA上确定一点F，使BF∥平面PDE；
（3 ） 求平面PDE与平面PAB所成的不大于直二面角的二面角的大小（用反三角函数表示）．

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三、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

A

B

B

D

B

D

A

B

C

B

四、填空题

13．2      14. 31    15.     16.  2.

三、解答题

17．解：（Ⅰ）．

的最小正周期．

（Ⅱ）由解得

∴ 的单调递增区间为。

18．（I）解：记这两套试验方案在一次试验中均不成功的事件为A，则至少有一套试验成功的事件为    由题意，这两套试验方案在一次试验中不成功的概率均为1－p.

所以，，    从而，

令

   （II）解：ξ的可取值为0，1，2.

所以ξ的分布列为

ξ

0

1

2

P

0.49

0.42

0.09

ξ的数学期望 

19．（Ⅰ）取DC的中点E.

∵ABCD是边长为的菱形,，∴BE⊥CD.

∵平面, BE平面，∴ BE.

∴BE⊥平面PDC.∠BPE为求直线PB与平面PDC所成的角. 

∵BE=，PE=,∴==.  

（Ⅱ）连接AC、BD交于点O，因为ABCD是菱形，所以AO⊥BD.

∵平面, AO平面，

∴ PD. ∴AO⊥平面PDB.

作OF⊥PB于F，连接AF，则AF⊥PB.

故∠AFO就是二面角A－PB－D的平面角.

∵AO=，OF=，∴=.

20．解: （Ⅰ）在恒成立,

所以,.

又在恒成立,

所以 ,. 

从而有.

故,.

 （Ⅱ）令,

    则

所以在上是减函数,在上是增函数,

从而当时,.

所以方程在只有一个解.

21．证明：由是关于x的方程的两根得

。

，

是等差数列。

（2）由（1）知

。

。

又符合上式， 。

（3） ①

  ②

①―②得 。

。

22．解：（1）由题意

   （2）由（1）知：（x>0）

令h(x)=px²－2x+p.要使g(x)在（0，+∞）为增函数，只需h(x)在（0，+∞）满足：h(x)≥0恒成立。即px²－2x+p≥0。

上恒成立

又

所以

   （3）证明：①即证 lnx－x+1≤0  (x>0)，

设.

当x∈（0，1）时，k′(x)>0，∴k(x)为单调递增函数；

当x∈（1，∞）时，k′(x)<0，∴k(x)为单调递减函数；

∴x=1为k(x)的极大值点，

∴k(x)≤k(1)=0.

即lnx－x+1≤0，∴lnx≤x－1.

②由①知lnx≤x－1,又x>0，