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    题目列表(包括答案和解析)

    14、在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维方式．如从指数函数中可抽象出f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）的性质；从对数函数中可抽象出f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）的性质，那么从函数
    y=kx（k≠0）
    ．（写出一个具体函数即可）可抽象出f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）的性质．

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    在中华人民共和国成立60周年的国庆盛典中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂，如果烟花距地面高h米与时t秒之间的关系为h（t）=-2t2+4
    		3
    t+19．
    （1）烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？
    （2）当烟花在最高点爆裂时，位于烟花正东方的观众甲观赏烟花的仰角是45°，位于南偏西60°的观众乙观赏烟花的仰角是30°，求这时观众甲和观众乙相距多远（观众的身高忽略不记）？

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    在中学阶段，对许多特定集合（如实数集、复数集以及平面向量集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容．现设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为⊙，对于A中的任意两个元素α=（a，b），β=（c，d），规定：α⊙β=（ad+bc，bd-ac）．
    （1）计算：（2，3）⊙（-1，4）．
    （2）请用数学符号语言表述运算⊙满足交换律，并给出证明．
    （3）若“A中的元素I=（x，y）”是“对?α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立”的充要条件，试求出元素I．

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    12、在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式如从f（x）=lgx可抽象出f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）的性质，那么由h（x）=
    任意指数函数均可，如h（x）=2x
    （填一个具体的函数）可抽象出性质h（x1+x2）=h（x1）•h（x2）．

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    在中学阶段，对许多特定集合（如实数集、复数集以及平面向量集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容．现设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为⊙，对于A中的任意两个元素α=（a，b），β=（c，d），规定：α⊙β=(
    .
    a-c
    bd
    .
    ，
    .
    da
    cb
    .
    )    ．
    （1）计算：（2，3）⊙（-1，4）；
    （2）请用数学符号语言表述运算⊙满足交换律和结合律，并任选其一证明；
    （3）A中是否存在唯一确定的元素I满足：对于任意α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立，若存在，请求出元素I；若不存在，请说明理由；
    （4）试延续对集合A的研究，请在A上拓展性地提出一个真命题，并说明命题为真的理由．

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    一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

    1．A     2．D     3．D　    4．C     5．C　   6．B　   7．C　   8．A

    二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

    9．                  10．60                   11．   

    12．(1) (2)               13．1,                  14．,

    注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．

    三、解答题（本大题共6小题，共80分）

    15．（本小题满分13分）

    解:（Ⅰ）设等比数列的公比为,依题意有,    (1)

    又,将(1)代入得.所以.

    于是有                             ………………3分

    解得或                             ………………6分

    又是递增的,故.                   ………………7分

    所以.                                         ………………8分

       (Ⅱ),.                     ………………10分

    故由题意可得,解得或.又, …………….12分

    所以满足条件的的最小值为13.                           ………………13分

    16. （本小题满分13分）

    解:（Ⅰ）由 且,

       所以.                     …………………4分

       于是. …………7分

      

    （Ⅱ）由正弦定理可得,

         所以.                                …………………….10分

    由得.         ………………11分

    即,

    解得.即=7 .                                           …………13分

    17．（本小题满分14分）

    解法一：（Ⅰ）∵正方形，∴

    又二面角是直二面角，

    ∴⊥平面.

    ∵平面，

    ∴⊥.

    又，，是矩形，是的中点，

    ∴=，，=，

    ∴⊥又=，

    ∴⊥平面，

    而平面，故平面⊥平面          ……………………5分

     （Ⅱ）如图，由（Ⅰ）知平面⊥平面，且交于，在平面内作⊥，垂足为，则⊥平面.

            ∴∠是与平面所成的角.                ……………………7分

    ∴在Rt△中,=.  

     .  

    即与平面所成的角为 .                 ………………………9分

       （Ⅲ）由（Ⅱ），⊥平面.作⊥，垂足为，连结，则⊥，

            ∴∠为二面角的平面角.             ……………………….11分

    ∵在Rt△中，=，在Rt△中， .

    ∴在Rt△中，     ………13分

    即二面角的大小为arcsin.          ………………………………14分

     

    解法二：

    如图，以为原点建立直角坐标系，

    则（0，0，0），（0，2，0），

    （0，2，2），（，，0），

    （，0，0）.

       （Ⅰ） =（，，0），=（，，0）,

             =（0，0，2），

    ∴?=（，，0）?（，，0）=0,

     ? =（，，0）?（0，0，2）= 0.

    ∴⊥，⊥，

    ∴⊥平面，又平面，故平面⊥平面. ……5分

       （Ⅱ）设与平面所成角为.

            由题意可得=（，，0），=（0，2，2 ），=（，，0）.

            设平面的一个法向量为=（，，1），

            由.

              .

    ∴与平面所成角的大小为.            ……………..9分

       （Ⅲ）因=（1，－1，1）是平面的一个法向量，

            又⊥平面，平面的一个法向量=（，0，0），

            ∴设与的夹角为，得，

            ∴二面角的大小为.      ………………………………14分

    18. （本小题满分13分）

    解:（Ⅰ）设事件表示甲运动员射击一次,恰好击中9环以上(含9环),则

    .                            ……………….3分

    甲运动员射击3次均未击中9环以上的概率为

    .                            …………………5分

    所以甲运动员射击3次,至少有1次击中9环以上的概率为

    .                               ………………6分

        (Ⅱ)记乙运动员射击1次,击中9环以上为事件,则

                            …………………8分

    由已知的可能取值是0,1,2.                       …………………9分

    ;

    ;

    .

    的分布列为

    0

    1

    2

    0.05

    0.35

    0.6

                                                   ………………………12分

    所以

    故所求数学期望为.                          ………………………13分

    19. （本小题满分14分）

    解:（Ⅰ）由已知 ,故,所以直线的方程为.

          将圆心代入方程易知过圆心 .      …………………………3分

            (Ⅱ) 当直线与轴垂直时,易知符合题意;        ………………4分

    当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,由于,

    所以由,解得.

    故直线的方程为或.        ………………8分

            (Ⅲ)当与轴垂直时,易得,,又则

    ,故. 即.                   ………………10分

    当的斜率存在时,设直线的方程为,代入圆的方程得

    .则

    ,即,

    .又由得,

    则.

    故.

    综上,的值为定值,且.                …………14分

    另解一:连结,延长交于点,由(Ⅰ)知.又于,

    故△∽△.于是有.

    由得

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