已知椭圆的离心率，短轴长为2．
（1）求椭圆方程；
（2）若椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，经过点且斜率k的直线l与椭圆交于不同的两点P、Q．是否存在常数k，使得向量共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．

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已知椭圆的离心率，短轴长为2．
（1）求椭圆方程；
（2）若椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，经过点且斜率k的直线l与椭圆交于不同的两点P、Q．是否存在常数k，使得向量共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．

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1．C   2．D   3．D   4．B   5．C   6．C   7．D   8．B   9．C   1 0．A  11．B   12．B

13．  14．  15．    16．3或5

提示：

1．C  ，故它的虚部为．(注意：复数的虚部不是而是)

2．D 解不等式，得，∴，

∴，故

3．D ，，∴，∴．

4．B  两式相减得，∴，∴．

5．C  令，解得，∴．

6．C  由已知有或解得或

7．D   由正态曲线的对称性和，知，即正态曲线关于直线对称，于是，，所以

8．B  圆心到直线的距离最小为0，即直线经过圆心，

∴，∴，∴．

9．C  对于A、D，与，不是对称轴；对于B，电不是偶函数；对于C，符合要求．

10．A   设两个截面圆的圆心分刷为、，公共弦的中点为M，则四边形为矩形，∴，．

11． B  应先求出2人坐进20个座位的排法。排除2人相邻的情况即可。

共有11+12=23个座位，去掉前排中间3个不能入坐的座位，还有20个座位，则2人坐入20个座位的排法有种，排除①两人坐前排相邻的12种情况；②两人坐后排相邻的22种情况，∴不同排法的种数有（种）．

12．B 抛物线的准线，焦点为，由为直角三角形，知为斜边，故意，又将代入双曲线方程得，得，解得，∴离心率为。

13．    展开式中的的系数是，

14．   ，∴

15．   设棱长均为2，由图知与到的距离相等，而到平面的距离为，故所成角的正弦值为。

16．3或5    作出可行域（如图），知在直线上，

    ∴，，在直线：中，

    令，得，∴坐标为，∴，

    解得或5。

17．解：（1）由，得，…2分

∴，∵，∴，∴

…………………………………………………………………………4分

∵，∴………………………………………5分

（2）∵，∴，

∴

……………8分

∵，∴，∴……………10分

18．解：（1）证明：延长、相交于点，连结。

∵，且，∴为的中点，为的中点。

∵为的中点，由三角形中位线定理，有

∵平面，平面，∴平面…………………6分

（2）（法一）由（1）知平面平面。

∵为的中点，∴取的中点，则有。

∵，∴

∵平面，∴为在平面上的射影，∴

∴为平面与平面所成二面角的平面角。……………………10分

∵在中，，，

∴，即平面与平面所成二面角的大小为。…………12分

（法二）如图，∵平面，，

∴平面，

取的中点为坐标原点，以过且平行的直线为轴，所在的直线为 轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系。

设，则，，，，

∴，

设为平面的法向量，

则   

取，可得

又平面的法向量为，设与所成的角为，………………… 8分

则，

由图可知平面与平面所成二面角为锐角。

∴平面与平面所成二面角的大小为………………………………12分

19．解：（1）由已知得，∵，∴

     ∵、是方程的两个根，∴

∴，…………………………………………6分

（2）的可能取值为0，100，200，300，400

，，

，，

即的分布列为：

……………………………………………………10分

故

………………………12分

20．解：（1）∵，∴，∴

又∵，∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，。

当时，（），∴

（2），

当时，；

当时，，①

②

①-②得：

∴

又∵也满足上式：∴……………………12分

21．解：的定义域为……………………………………………………1分

（1）

……………………………………………………3分

当时，；当时，；当时，。

从而分别在区间，上单调递增，在区间上单调递减

……………………………………………………6分

（2）由（1）知在区间上的最小值为……………8分

又，

所以在区间上的最大值为…………………12分

22．解（1）将直线的方程代入，

化简得

令，