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题目列表(包括答案和解析)

由原点O向曲线f(x)=x³-3ax²+x(a≠0)引切线,切点P₁(x₁,y₁)异于O,再由点P₁引此曲线的切线,切点P₂(x₂,y₂)异于P₁,如此继续下去,得到点列{P_n(x_n,y_n)}.

(1)求x₁;

(2)求证:数列{x_n-a}为等比数列;

(3)令b_n=n|x_n-a|,T_n为数列{b_n}的前n项的和,若T_n＞2对n∈N^*恒成立,求a的取值范围.

A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数φ（x）组成的集合：
（1）对任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
（2）存在常数L（0＜L＜0），使得对任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|?（2x₁）-?（2x₂）|≤L|x₁-x₂|．
（Ⅰ）设φ（x）=

3	1+x

，x∈[2，4]，证明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）设φ（x）∈A，如果存在x₀∈（1，2），使得x₀=φ（2x₀），那么这样的x₀是唯一的；
（Ⅲ）设φ（x）∈A，任取x_n∈（1，2），令x_n+1=φ（2_nx），n=1，2，…，证明：给定正整数k，对任意的正整数p，不等式|xk+p-xk|≤

Lk-1

1-L

|x2-x1|成立．

A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数φ（x）组成的集合：
①对任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
②存在常数L（0＜L＜1），使得对任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|φ（2x₁）-φ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|，
（Ⅰ）设

，证明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）设φ（x）∈A，如果存在x₀∈（1，2），使得x₀=φ（2x₀），那么这样的x₀是唯一的；
（Ⅲ）设φ（x）∈A，任取x₁∈（1，2），令x_n+1=φ（2x_n），n=1，2，…，证明：给定正整数k，对任意的正整数p，成立不等式

。

A是由定义在［2,4］上且满足如下条件的函数φ(x)组成的集合:①对任意x∈［1,2］,都有φ(2x)∈(1,2);②存在常数L(0＜L＜1),使得对任意的x₁,x₂∈［1,2］,都有|φ(2x₁)-φ(2x₂)|≤L|x₁-x₂|.

(1)设φ(x)=,x∈［2,4］,证明φ(x)∈A;

(2)设φ(x)∈A,如果存在x₀∈(1,2),使得x₀=φ(2x₀),那么这样的x₀是唯一的;

(3)设φ(x)∈A,任取x₁∈(1,2),令x_n+1=φ(2x_n),n=1,2,…,证明给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式|x_k+p-x_k|≤|x₂-x₁|.

20.

A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数（x）组成的集合：①对任意的都有(2x);②存在常数L（0＜L＜1），使得对任意的x₁,x₂[1，2]，都有|（2x₁）- (2 x₂)|.

（Ⅰ）设（x）=证明：（x）A:

（Ⅱ）设（x），如果存在x₀(1,2),使得x₀=（2x₀）,那么这样的x₀是唯一的：

（Ⅲ）设任取x₁(1,2),令x_n+1=（2x_n）,n=1,2……证明：给定正整数k，对任意的正整数p,成立不等式。

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