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若的展开式中与的系数之比为，其中
（1）当时，求的展开式中二项式系数最大的项；
（2）令，求的最小值．

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用大小一样的钢珠可以排成正三角形、正方形与正五边形数组，其排列的规律如下图所示：
已知m个钢珠恰好可以排成每边n个钢珠的正三角形数组与正方形数组各一个；且知若用这m个钢珠去排成每边n个钢珠的正五边形数组时，就会多出9个钢珠，则m=

 

．

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若椭圆E₁：

x2

a 2 1

+

y2

b 2 1

=1和椭圆E₂：

x2

a 2 2

+

y2

b 2 2

=1满足

a2

a1

=

b2

b1

=m

(m＞0)

，则称这两个椭圆相似，m称为其相似比．
（1）求经过点(2，

6

)，且与椭圆

x2

4

+

y2

2

=1相似的椭圆方程；
（2）设过原点的一条射线l分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），
求|OA|+

1

|OB|

的最大值和最小值；
（3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆C₁：

x2

22

+

y2

( 2 )2

=1和C₂：

x2

42

+

y2

(2 2 )2

=1交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若|OA|、|OP|、|OB|成等差数列，则点P的轨迹方程为

x2

32

+

y2

( 3 2 2 )2

=1”．请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，并给予证明．

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一、选择题（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有一个符合题目要求的）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

D

C

C

A

C

C

A

二、填空题（本大题共有6个小题，每小题5分，共30分；请把答案填在相应的位置）

题号

9

10

11

12

13

14

答案

8,70

三、解答题

15．（本题满分13分）

解：（1）

（2）

当时，此时，为直角三角形；

当时，为直角三角形。

16. （本题满分13分）

解：（1）向上的点数互不相同的概率为

（2）向上的点数之和为6的结果有

共10中情况，

所以

（3）因为每次抛掷骰子，向上的点数为奇数的概率为

所以根据独立重复试验概率公式得

17．（本题满分13分）

    解：解答一：（1）在菱形中，连接则是等边三角形。

（2）

              （3）取中点，连结

     解法二：（1）同解法一；

            （2）过点作平行线交于,以点为坐标原点,建立如图的坐标系

                   二面角的大小为

     （3）由已知，可得点

          即异面直线所成角的余弦值为

18．（本题满分13分）

解：（1）将函数的图象向右平移一个单位，得到函数的图象，

        函数的图象关于点（0，0）对称，即函数是奇函数，

        由题意得：

        所以

   （2）由（1）可得

        故设所求两点为

        满足条件的两点的坐标为：

19. （本题满分14分）

解：（1）由，

设

则

由知，抛物线C在点N处是切线的斜率

因此，抛物线C在点N处的切线与直线AB平行。

（2）假设存在实数，使得，则

由M是线段AB的中点。

由轴，知

解得（舍去）

存在实数，使得

20. （本题满分14分）

   解：（1）由题意得

（2）正整数的前项和

解之得

当时，

以上各式累加，得

（3）在（1）和（2）的条件下，

当时，设，由是数列的前项和

综上

因为恒成立，所以小于的最小值，显然的最小值在时取得，即

满足的条件是

解得