求证：；

 

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)求证：.

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.

1.         2.       3.         4.25         5.         6.

7.            8.③               9.6              10.50%(填0.5，都算对)

11.          12.＜              13.12             14.或

二、解答题：本大题共6小题，计90分.

15.解:（Ⅰ）当时，点P共有28个，而满足的点P有19个，

从而所求的概率为………………………………………………………………………(7分)

   （Ⅱ）当时,由构成的矩形的面积为,而满足

的区域的面积为，故所求的概率为……………………………………(14分)

16.证:(Ⅰ)连接交于,连接.

∵分别是的中点，∴∥且=,∴四边形是矩形.

∴是的中点………………………………………………………………………………(3分)

又∵是的中点,∴∥……………………………………………………………(5分)

则由,,得∥………………………………………(7分)

(注:利用面面平行来证明的,类似给分)

(Ⅱ) ∵在直三棱柱中，⊥底面,∴⊥.

又∵,即⊥,∴⊥面………………………(9分)

而面,∴⊥……………………………………………………………(12分)

又,∴平面……………………………………………………………(14分)

17. 解:(Ⅰ)由,得

,所以………………………………………………(4分)

则,所以……………………………………………………(7分)

   (Ⅱ)方案一：选择①③.

∵A=30°,a=1,2c-(+1)b=0，所以，则根据余弦定理，

得，解得b=,则c=…………………(11分)

∴…………………………………(14分)

方案二：选择②③. 可转化为选择①③解决,类似给分.

(注：选择①②不能确定三角形)

18. 解:（Ⅰ）,即,

  ,准线,……………………………………………………(2分)

  设⊙C的方程为,将O、F、A三点坐标代入得：

,解得………………………………………………………(4分)

∴⊙C的方程为……………………………………………………(5分)

（Ⅱ）设点B坐标为,则,整理得：

对任意实数都成立……………………………………………(7分)

∴,解得或,

故当变化时，⊙C经过除原点O外的另外一个定点B……………………………(10分)

（Ⅲ）由B、、得,

 ∴,解得……………………………………………(12分)

   又 ,∴………………………………………………………………(14分)

又椭圆的离心率（）……………………(15分)

 ∴椭圆的离心率的范围是………………………………………………………(16分)

19. (Ⅰ)证:因为对任意正整数，总成立,

令，得,则…………………………………………(1分)

令，得  (1) , 从而   (2),

(2)－(1)得,…………………………………………………………………(3分)

综上得,所以数列是等比数列…………………………………………(4分)

（Ⅱ）正整数成等差数列，则,所以,

则……………………………………………………(7分)

①当时，………………………………………………………………(8分)

②当时，…………………………(9分)

③当时，……………………(10分)

（Ⅲ）正整数成等比数列，则,则,

所以，……………(13分)

①当,即时，……………………………………………(14分)

②当,即时，………………………………(15分)

③当,即时，………………………………(16分)

20. 解: (Ⅰ)当时,.

因为当时,,,

且,

所以当时,,且……………………………………(3分)

由于,所以,又,

故所求切线方程为,

即…………………………………………………………………(5分)

   (Ⅱ) 因为,所以,则  

当时,因为,,

所以由,解得,

从而当时, ……………………………………………(6分)

①     当时,因为,,

所以由,解得,

从而当时, …………………………………………(7分)

③当时,因为,

从而 一定不成立………………………………………………………………(8分)

综上得,当且仅当时,,

故 …………………………………………(9分)

从而当时,取得最大值为…………………………………………………(10分)

(Ⅲ)“当时,”等价于“对恒成立”,

即“(*)对恒成立” ……………………………………(11分)

①     当时,,则当时,,则(*)可化为

,即,而当时,,

所以,从而适合题意………………………………………………………………(12分)

②     当时,.

⑴     当时,(*)可化为,即,而,

所以,此时要求

…………………………………………………………(13分)

⑵        当时,(*)可化为,

所以,此时只要求………………………………………………………(14分)

(3)当时,(*)可化为,即,而,

所以,此时要求…………………………………………………………(15分)

由⑴⑵⑶,得符合题意要求.

 综合①②知,满足题意的存在,且的取值范围是………………………………(16分)

数学附加题部分

21.A.解：因为PA与圆相切于点A,所以.而M为PA的中点,

所以PM=MA,则.

又,所以,所以……………………(5分)

在中,由,

即,所以,

从而……………………………………………………………………………(10分)

B．解:,所以=……………………………(5分)

即在矩阵的变换下有如下过程,,

则,即曲线在矩阵的变换下的解析式为……(10分)

C．解:由题设知,圆心,故所求切线的直角坐标方程

为……………………………………………………………………………(6分)

      从而所求切线的极坐标方程为………………………………(10分)

D．证:因为,利用柯西不等式,得…………………………(8分)

  即………………………………………………………………………(10分)

22．解: (Ⅰ)以A为原点,AB、AC、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A－xyz，

则A(0，0，0),B(2，0，0),C(0，2，0),E(0，1，0),P(0，0，1),

所以,……………………………(4分)

故异面直线BE与PC所成角的余弦值为……………………………………(5分)

(Ⅱ)作PM⊥BE交BE(或延长线)于M,作CN⊥BE交BE(或延长线)于N,

则存在实数m、n,使得,即

因为,所以