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    19．得分评卷人 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （本小题满分13分）

    已知为锐角，且，函数，数列{}的首项.

    （1） 求函数的表达式；

    （2）在中，若A=2,,BC=2,求的面积

    （3） 求数列的前项和

     

     

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    （本小题满分13分）

    已知椭圆经过点（p，q），离心率其中p,q分别表示标准正态分布的期望值与标准差。

     （1）求椭圆C的方程；

     （2）设直线与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为。①试建立的面积关于m的函数关系;②莆田十中高三（1）班数学兴趣小组通过试验操作初步推断：“当m变化时，直线与x轴交于一个定点”。你认为此推断是否正确?若正确，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不正确，请说明理由。

     

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    （本小题满分13分）

    某慈善机构举办一次募捐演出，有一万人参加，每人一张门票，每张100元. 在演出过程中穿插抽奖活动．第一轮抽奖从这一万张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个数，（，），随即按如右所示程序框图运行相应程序．若电脑显示“中奖”，则抽奖者获得9000元奖金；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．

    （Ⅰ）已知小曹在第一轮抽奖中被抽中，求小曹在第二轮抽奖中获奖的概率；

    （Ⅱ）若小叶参加了此次活动，求小叶参加此次活动收益的期望；

    （Ⅲ）若此次募捐除奖品和奖金外，不计其它支出，该机构想获得96万元的慈善款．问该慈善机构此次募捐是否能达到预期目标．

     

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    （本小题满分13分）

    随机变量X的分布列如下表如示，若数列是以为首项，以为公比的等比数列，则称随机变量X服从等比分布，记为Q(,)．现随机变量X∽Q(,2)．

    X

    1

    2

    …

    n

    …

    (Ⅰ)求n 的值并求随机变量X的数学期望EX；

    （Ⅱ）一个盒子里装有标号为1，2，…，n且质地相同的标签若干张，从中任取1张标签所得的标号为随机变量X．现有放回的从中每次抽取一张，共抽取三次，求恰好2次取得标签的标号不大于3的概率．

     

     

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    （本小题满分13分）

    椭圆：与抛物线：的一个交点为M，抛物线在点M处的切线过椭圆的右焦点F．

    (Ⅰ)若M，求和的标准方程；

    （II）求椭圆离心率的取值范围．

     

     

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    一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

    1．A    2．A    3．B    4．B    5．C    6．D    7．B    8．B

    二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

    9．－     10．5       11．2，     12．12           13．26      14．－

    注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．

    三、解答题（本大题共6小题，共80分）

    15．（本小题满分13分）

    （Ⅰ）解：f（x）＝cos2x－sin2x+2sinxcosx+1＝sin2x+cos2x+1

    ＝2sin+1.  ……………………………………………5分

    因此f（x）的最小正周期为，最小值为－1．……………………………7分

    （Ⅱ）由f（）＝2得2 sin+1＝2，即sin＝． ………9分

    而由∈得2+∈．……………………………10分

    故2+＝．…………………………………………………………12分

    解得＝． ………………………………………………………………13分

    16．（本小题满分13分）

    解：（Ⅰ）要得40分，8道选择题必须全做对，在其余四道题中，有两道题答对的概率为，有一道题答对的概率为，还有一道题答对的概率为，所以得40分的概率为

    P＝×××＝． ………………………………………………5分

    （Ⅱ）依题意，该考生得分的取值是20，25，30，35，40，得分为20表示只做对了四道题，其余各题都做错，故求概率为P（＝20）＝×××＝；

    同样可求得得分为25分的概率为

                                       P（＝25）＝××××+×××+×××＝；

    得分为30分的概率为P（＝30）＝；

    得分为35分的概率为，P（＝35）＝；

    得分为40分的概率为P（＝40）＝．

    于是的分布列为

     

    20

    25

    30

    35

    40

    P

     

    ………………………………………………………………………………11分

    故E＝20×+25×+30×+35×+40×＝．

    该考生所得分数的数学期望为  ………………………………………13分

    17．（本小题满分14分）

    解法一：

    （Ⅰ）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1底面

    ABC，BC1在底面上的射影为CB．

    由AC＝3，BC＝4，AB＝5，可得ACCB．

    所以ACBC1………………………4分

    （Ⅱ）过C作CEAB于E，连结C1E．

    由CC1底面ABC可得C1EAB．

    故∠CEC1为二面角C1－AB－C的平面角．

    在ABC中，CE＝，

                 在RtCC1E中，tanC1EC＝＝，

    故所求二面角的大小为arctan．……9分

    （Ⅲ）存在点D使AC1∥平面CDB1，且D为AB中点，下面给出证明．

    设BC1与CB1交于点O，则O为BC1中点．连接OD．

    在△ABC1中，D，O分别为AB，BC1的中点，故OD为△ABC1的中位线，

    ∴OD∥AC1，又AC1平面CDB1，OD平面CDB1，

    ∴AC1∥平面CDB1．

    故存在点D为AB中点，使AC1∥平面CDB1． ………………………………14分

      解法二：

    ∵直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，

    ∴AC，BC，CC1两两垂直．如图以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C－xyz，则

    C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4）．

    （Ⅰ）∵＝（－3，0，0），＝（0，－4，4），

    ∴?＝0，故ACBC1   ………………………………………………4分

    （Ⅱ）平面ABC的一个法向量为m＝（0，0，1），设平面C1AB的一个法向量为             n＝（x0，y0，z0），

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    ＝（－3，0，4），＝（－3，4，0）．

    由得

    令x0＝4，则z0＝3，y0＝3．

    则n＝（4，3，3）．

    故cos＜m，n＞＝＝．

    所求二面角的大小为arccos.   ………………………………………9分

    （Ⅲ）同解法一   ………………………………………………………………………4分

    18．（本小题满分13分）

    解：（Ⅰ）依题意有，f ′（x）＝a+．……………………………………………3分

    因此过（1，f（1））点的直线的斜率为a－1，又f（1）＝a，

    所以，过（1，f（1））点的直线方程为y－a＝（a－1）（x－1）．…………4分

    又已知圆的圆心为（－1，0），半径为1，依题意，＝1．

    解得a＝1． …………………………………………………………………6分

    （Ⅱ）f ′（x）＝a+.

    因为a＞0，所以2－＜2，又由已知x＜2．………………………………9分

    令f ′（x）＞0，解得x＜2－，令f ′（x）＜0，解得2－＜x＜2． …11分

    所以，f（x）的单调增区间是，

    f（x）的单调减区间是．………………………………………13分

    19．（本小题满分13分）

    解：（Ⅰ）由已知抛物线的焦点为（0，－），故设椭圆方程为+＝1．

    将点A（1，）代入方程得+＝1，整理得a4－5a2+4＝0，

    解得a2＝4或a2＝1（舍）．

    故所求椭圆方程为+＝1． …………………………………………6分

    （Ⅱ）设直线BC的方程为y＝x+m，设B（x1，y1），C（x2，y2），

    代入椭圆方程并化简得4x2+2mx+m2－4＝0，   …………………………9分

    由＝8m2－16（m2－4）＝8（8－m2）＞0，可得m2＜8．

    由x1+x2＝-m，x1x2＝，

    故＝＝．

    又点A到BC的距离为d＝， …………………………………………11分

    故＝?d＝≤?＝，

    当且仅当2m2＝16－2m2，即m＝±2时取等号（满足＞0）

    所以△ABC面积的最大值为． ………………………………………13分

    20．（本小题满分14分）

    解：（Ⅰ）依题意有yn＝+，于是yn+1－yn＝．

    所以数列是等差数列． ………………………………………………4分

    （Ⅱ）由题意得＝n，即xn+xn+1＝2n，（n∈N*）①

    所以又有xn+2+ xn+1＝2（n+1）．                 ②……………………6分

    由②－①得xn+2－xn＝2，可知x1，x3，x5，…；x2，x4，x6，…都是等差数列．那么得

    x2k－1＝x1+2（k－1）＝2k+a－2，

    x2k＝x2+2（k－1）＝2－a+2（k－1）＝2k－a．（k∈N*）

    故xn＝  ……………………………………………10分

    （Ⅲ）当n为奇数时，An（n+a－1，0），An+1（n+1－a，0），所以＝2（1－a）；

    当n为偶数时，An（n－a，0）An+1（n+a，0），所以＝2a；

    作BnCnx轴，垂足为Cn，则＝+，要使等腰三角形AnBnAn+1为直角三角形，必须且只需＝2.

    当n为奇数时，有2（1－a）＝2，即12a＝11－3n．     ①

    当n＝1时，a＝；当n＝3时，a＝；当n≥5时，①式无解．

    当n为偶数时，有12a＝3n+1，同理可求得a＝．

    综上所述，上述等腰三角形AnBnAn+1中存在直角三角形，此时a的值为或 或.  ………………………………………………………………………14分

     


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