题目列表(包括答案和解析)
已知椭圆的焦点为F1（－1，0）和F2 （1，0），点P是椭圆上的一点，且
是
和
的等差中项。则该椭圆的方程为
( )
A.
B.
C.
D.
已知椭圆的长轴长为
，焦点是
，点
到直线
的距离为
，过点
且倾斜角为锐角的直线
与椭圆交于A、B两点，使得
.
(1)求椭圆的标准方程； (2)求直线l的方程．
【解析】（1）中利用点F1到直线x＝－
的距离为
可知－
＋＝.得到a2＝4而c＝，∴b2＝a2－c2＝1.
得到椭圆的方程。（2）中，利用
，设出点A(x1，y1)、B(x2，y2)．，借助于向量公式
再利用 A、B在椭圆
＋y2＝1上， 得到坐标的值，然后求解得到直线方程。
解:(1)∵F1到直线x＝－的距离为，∴－＋＝.
∴a2＝4而c＝，∴b2＝a2－c2＝1.
∵椭圆的焦点在x轴上，∴所求椭圆的方程为＋y2＝1.……4分
(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)．由第(1)问知
,
∴……6分
∵A、B在椭圆＋y2＝1上，
∴
……10分
∴l的斜率为
＝
.
∴l的方程为y＝(x－)，即x－y－
＝0.
已知F1（－1，0）、F2（1，0）是椭圆的两焦点，过F1的直线L交椭圆于M、N，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为
A．
B．
C．
D．
已知椭圆C：
＋
＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设
＝λ
.
（Ⅰ）证明：λ＝1－e2；
（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.
＋
＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为e。直线l：y＝ex＋a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设
＝λ
。 （Ⅰ）证明：λ＝1－e2
（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形。
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1.C 2.A 3.D 4.D 5.D 6.B 7.C 8.D 9.C 10.A
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13.
x∈R，x≤0
14.－15 15.－1 16.
三、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
17.(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）由已知c＝1，则a2－b2＝1．
又
故a2＝4，b2＝3.
所求椭圆方程为
．……………………………………………6分
（Ⅱ）由
解得
又
，
于是
……………………………………12分
18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为双曲线的焦点在y轴上，设所求双曲线的方程为
．
由题意，得
解得a＝2，b＝1．
所求双曲线的方程为
…………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得F1（0，－
），F2（0，）．
点F1，F2关于直线y＝x的对称点分别为F1′（－，0），F2′（，0），又P（0，2），设椭圆方程为
（m＞n＞0）．
由椭圆定义，得
因为m2－n2＝5，所以n2＝4．
所以椭圆的方程为
.………………………………………12分
19.（本小题满分12分）
证明：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，设AB＝
则A（0，0，0），B（
∵E为AB的中点，F为PC的中点，
∴E（a，0，0），F（a，b，c）.
（Ⅰ）∵
＝（0，b，c），
＝（0，0，
＝（0，2b，0），
∴＝
（＋）.
∴与、共面.
又∴
平面PAD，
∴EF∥平面PAD.……………………4分
（Ⅱ）∵
=（
∴?＝（
∴EF
CD.…………………………………………………………8分
（Ⅲ）若∠PDA＝45°则有2b＝
∴＝（0，b，b），＝（0，0，2b）.
∴
＜，＞＝
∴＜，＞＝45°.
∵AP平面ABCD，
∴是平面ABCD的法向量.
∴EF与平面ABCD所成的角为90°－＜，＞＝45°.……12分
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