题目列表(包括答案和解析)
（本小题满分14分）已知双曲线
的左、右顶点分别为
，点
，
是双曲线上不同的两个动点.
（1）求直线
与
交点的轨迹E的方程
（2若过点
的两条直线
和
与轨迹E都只有一个交点，且
，求
的值.
（本小题满分14分）
已知双曲线
的左、右顶点分别为
，点
，
是双曲线上不同的两个动点。
（1）求直线
与
交点的轨迹
的方程；
（2若过点
的两条直线
和
与轨迹都只有一个交点，且
，求
的值。
（本小题共14分）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，
点
是椭圆的一个顶点，△
是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点
分别作直线
，
交椭圆于
，
两点，设两直线的斜率分别为
，
，且
，证明：直线
过定点（
）．
（本小题满分12分）已知椭圆
的左、右顶点分别为
、
，曲线
是以椭圆中心为顶点，为焦点的抛物线.
（1）求曲线的方程；
（2）直线
与曲线交于不同的两点
、
.当
时，求直线
的倾斜角
的取值范围.
（本小题满分16分）
已知椭圆
的左、右顶点分别A、B，椭圆过点（0，1）且离心率
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆上异于A，B两点的任意一点P作PH⊥
轴，H为垂足，延长HP到点Q，且PQ=HP，过点B作直线
轴，连结AQ并延长交直线
于点M，N为MB的中点，试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系.
一、选择题
1.B 2.C 3.C 4.C 5.D 6.A 7.D 8.A
二、填空题
9．－8 10．（－1，－2） 11． 12．（2分）；2（3分）
13．（3分） 14．3.5
三、解答题
15．解：（Ⅰ）由已知得 ………………2分
………………4分
在三角形ABC中，C=60° ………………6分
（Ⅱ）∵ …………8分
又∵ ………………9分
∴
∴ ………………11分
∴
∴ ………………13分（少一组值扣1分）
16．[解法一]（Ⅰ）证：在直三棱柱ABC―A1B1C1中，AC//A1C1 ………………2分
又平面ACD ∴A1C1//平面ACD ………………4分
（Ⅱ）在直三棱柱ABC―A1B1C1中，A1A⊥平面ABC
∴A1A⊥AC ………………6分 又∠BAC=90° ∴AC⊥AB
∴AC⊥平面A1ABB1 ………………8分
又A1D平面A1ABB1， ∴AC⊥A1D
∴异面直线AC与A1D所成的角大小为 ………………9分
（Ⅲ）∵△A1B1D和△ABD都为等腰直角三角形，∴∠A1DB1=∠ADB=45°
∴∠A1DA=90°即 A1D⊥AD …………11分 由（Ⅱ）知A1D⊥AC，
∴A1D⊥平面ACD ……………………14分
[解法二]向量法（略）
17．解：（Ⅰ）圆心坐标C（－1，2），半径。 ………………3分（圆心横纵坐标及半径各1分）
（Ⅱ）∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，
设直线方程 ………………4分
∵圆C：
∴圆心C（－1，2）到切线的距离等于圆半径，
即： ………………6分
∴a=－1或a=3，
所求切线方程为：
（Ⅲ）∵切线PM与半径CM垂直，设P(x，y)
∴|PM|2=|PC|2－|CM|2 ………………10分
∴ ………………11分
所以点P的轨迹方程为 ………………13分
18．（Ⅰ）证明：∵
……………………1分
……………………3分
∴数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列。 ………………4分
（Ⅱ）解： ………………5分
由（Ⅰ）得 …………7分
∴ ………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得 ………………9分
利用错位相减法可得， ………………14分
19．解：（Ⅰ）由已知得 ………………2分
又
可得 ………………4分
又
即
（0，x1）
x1
(x1,x2)
x2
(x2,2)
+
0
－
0
+
ㄊ
极大值
ㄋ
极小值
ㄊ
所以为的极大值，为的极小值.……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）
…………9分
……12分
……13分
20．解：（Ⅰ）由题意知
则双曲线方程为：……3分
（Ⅱ）设
设PQ方程为：代入双曲线方程可得：
由于P、Q都在双曲线的右支上，所以，
……4分
……5分
由于
由……6分
……7分
此时
……8分
（Ⅲ）存在实数，满足题设条件
……9分
把（3）（4）代入（2）得：……（5）
由（1）（5）得：……11分
，满足题设条件. ………………13分
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