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一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

A

C

B

D

C

C

A

4．【解析】{a_n}为等差数列，则{}也为等差数列且其公差d = 1,

∴，∴=．

5．【解析】圆方程可化为，则圆心到直线的距离，当1＜d＜3时，则圆上恰有两个点到直线的距离等于1，＜|c|＜，故选D.

6．【解析】y = f(x)是奇函数，由f(x)＞f (?x) + x得f(x)＞，数形结合．

7．【解析】设l过原点，取线段AB的中点M(?1，)，则OM⊥l，∴k_l =．

8．【解析】∵f(x)是偶函数且f(x)在[0，+∞)是增函数

∴|ax + 1|≤|x ?2|恒成立，x∈[，1]．

∴x ? 2≤ax + 1≤2 ? x

即．

二、填空题

9．【解析】，令有r = 2，∴．

10．【解析】= 1440．

11．       【解析】求出交点代入求出k并验证得k = ?9．

12．【解析】易求：抛物线焦点F(4，0)，准线L：x = ? 4．椭圆焦点F(4，0)、 F′(4，4)，如图所示．

所以F为两曲线之公共焦点．

设两曲线交于点A，则

所以当H、A、F′共线时，2a有最小值，从而a也达到最小，此时，y_A = y_F = 4，代入y² = 16x 得x_A = 1，再以A(1，4)代入椭圆得：a² = 16，从而a = 4．

13．【解析】①在平面A′FA内过点A′作A′H⊥AF，垂足为H，由DE⊥AF，DE⊥A′G知DE⊥平面A′GA．故DE⊥A′H，∴A′H⊥平面ABC，即A′在平面ABC上的射影在线段AF上．

②由①得；

③由①知：当A′H与A′G重合时，三棱锥A′―FED的体积有最大值；

④用反证法：假设A′E与BD垂直，由①知A′H⊥BD，∴BD⊥面A′HE，EH⊥BD．

∴当EH⊥BD时，可证A′E⊥BD．

故①②③正确．

14．【解析】当n≤x＜n + 1(n∈Z)时，y = f(x) = x ? n，

显然有0≤x ? n＜1，即0≤y＜1，

也有f(x+ 1) }= x + 1 ? [x + 1] = x + 1? ([x] + 1) = x ? [x] = f(x)．如图．

    答案为：［0，1）；1

15．【解析】（i）20；

（ii）将粒子的运动轨迹定义为数对（i，j）

则它的运动整点可排成数表

（0，0）

（0，1） （1，1） （1，0）

（0，0） （2，1） （2，2） （1，2） （0，2）

（0，3） （1，3） （2，3） （3，3） （3，2） （3，1） （3，0）

（4，0） （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （3，4） （2，4） （1，4）（0，4）

通过推并可知：经过2 = 1×2s，运动到（1，1）

经过6 =2×3s，运动到（2，2）

经过12 =3×4s，运动到（3，3）

∴经过44×45 = 1980s，运动到（44，44）

       再继续运动29s，到达点（15，44）．

三、解答题

16．【解析】（1）= 0，1，2，4．                                            （1分）

P(= 4) =

P(= 2) =

P(= 1) =

P(= 0) = 1?P(= 1) ?P(= 2) ?P(= 4) =                              （7分）

∴的分布列为

0

1

2

4

P

                                                                    （9分）

∴E=，

D= (0 ? 1)²×+ (1 ? 1)²×+(2 ? 1)²×+(4 ? 1)²×= 1               （12分）

17．【解析】（Ⅰ）∵，∴= 0，               （2分）

∴，                                    （4分）

又∵∈R，∴时，m_min = ?2.

又，所以                                             （6分）

（Ⅱ）∵，且,∴                           （8分）

∴

∴                          （10分）

                                              （12分）

18．【解析】（Ⅰ）∵AB = 3，BC = 4，∴AC = 5

∵AC² = AB² + BC²

∴AB⊥BC

又AB⊥BB₁

且BC∩BB₁ = B

∴AB⊥面BCC₁B₁                                                     （4分）

（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系

则A(3，0，0)，P(0，0，3)，Q(0，4，4)

设面APQ的法向量为= (x，y，z)

= (1，?1，1)

而面ABC的法向量可以取= (0，0，1)

∴

∴面PQA与面ABC所成的锐二面角为arccos．                        （8分）

（Ⅲ）∵BP = AB = 3，CQ = AC = 7．

∴S_{四边形BCQP} =

∴V_A―BCQP =×20×3 = 20

又∵V=．

∴．                                             （12分）

19．【解析】（Ⅰ）（）．　　　　（2分）

（Ⅱ）设第n区内的面积为b_n平方米，

则 ．　　　　　　　　　　　　　　（4分）

则第n区内火山灰的总重量为

（吨）（万吨）　　　（6分）

设第n区火山灰总重量最大，则

解得   ∴n =50.

即得第50区火山灰的总重量最大.                                           （9分）

（Ⅲ）设火山喷发的火山区灰总重量为S万吨，

则

设

则   ①

∴ ②

①－②得

∴                               （12分）

∵0＜q＜1，∴（万吨）

因此该火山这次喷发出的火山灰的总重量约为3712万吨．                     （13分）

20．【解析】（Ⅰ）因为圆O的方程为x² + y² = 2，所以d =，

可得b² = 2(k² + 1)(k≠±1)．                                           （4分）

（Ⅱ）设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

由，

所以，                                                 （7分）

所以=

=，

因为|AB| =×=，

O到AB的距离，                                         （11分）

  所以

=∈．                                    （13分）

21．（Ⅰ）【解析】

．               　　　　　（2分）

由f (?2) =

又∵b，c∈N^*    ∴c = 2，b = 2

∴f (x) =．                                                （4分）

令f′(x)＞0得：x＜0或x＞2

令f′(x)＜0得：0＜x＜2

∴f(x)的单调递增区间为（?∞，0），（2，+∞）

f(x)的单调递减区间为（0，1），（1，2）．                                 （6分）

（Ⅱ）证明：由已知可得：2S_n = a_n ? ，

两式相减得：(a_n + a_{n ? 1}) (a_n ? a_{n ? 1}+1) = 0 （n≥2）

∴a_n = ?a_{n ?1}或a_n ?a_n?1 = ?1                                             （7分）

当n =1 时，2a₁ = a₁ ?

若a_n = ?a_n?1，则a₂ = ?a₁ = 1与a_n≠1矛盾．

（定义域要求a_n≠1）

∴a_n ? a_n?1 = 1，∴a_n = ?n．                                             （8分）

要证的不等式转化为

先证不等式

令g (x) = x ?ln(1 + x)，h(x) = ln(x +1) ?                                （10分）

则g′(x) =，h′(x) =

∵x＞0   ∴g′(x)＞0，h′(x)＞0

∴g (x)， h(x)在（0，+∞）上

∴g (x)＞g (0) = 0，h(x)＞h(0) = 0                                        （12分）

∴

故，即．                         （13分）