题目列表(包括答案和解析)
数列
的前n项和Sn，当
的等比中项
（1）求证：对于
；
（2）设
，求Sn；
（3）对
，试证明：S1S2+S2S3+……+SnS
数列
的前n项和记为
，前
项和记为
,对给定的常数
，若
是与
无关的非零常数
，则称该数列是“类和科比数列”，
（理科做以下（1）（2）（3））
（1）、已知
，求数列的通项公式（5分）；
（2）、证明（1）的数列
是一个 “类和科比数列”（4分）；
（3）、设正数列
是一个等比数列，首项
，公比
，若数列
是一个 “类和科比数列”，探究与的关系（7分）
数列
的前n项和记为
,
,点
在直线
上,n∈N*．
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式
；
（2）设
,
是数列
的前n项和,求
的值．
数列{
}的前n项和为
，
．
（Ⅰ）设
，证明：数列
是等比数列；
（Ⅱ）求数列
的前
项和
；
（Ⅲ）若
，数列
的前
项和
，证明：
．
数列{
}的前n项和为
，
．
（Ⅰ）设
，证明：数列
是等比数列；
（Ⅱ）求数列
的前
项和
；
（Ⅲ）若
，
．求不超过
的最大整数的值.
一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
B
B
A
C
B
C
二、填空题：本小题9―12题必答，13、14、15小题中选答2题，若全答只计前两题得分，共30分.
9. 35
10. 
11.
12. 
13.
或
14. 10
15. 
三、解答题：共80分.
16题（本题满分13分）
解：（1）要使f(x)有意义，必须
，即
得f(x)的定义域为
………………………………４分
（２）因
在
上，
当
时取得最大值
………………………………………５分
当
时，
，得f(x)的递减区间为
，递增区间为
……９分
（３）因f(x)的定义域为，关于原点不对称，所以f(x)为非奇非偶函数. ……………………………………………………………………１３分
17题（本题满分13分）
解：（1）当且仅当
时，方程组有唯一解.因
的可能情况为
三种情况………………………………3分
而先后两次投掷骰子的总事件数是36种，所以方程组有唯一解的概率
……………………………………………………………………6分
（2）因为方程组只有正数解，所以两直线的交点在第一象限，由它们的图像可知
………………………………………………………………9分
解得（a,b）可以是（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（5，1），（5，2），（6，1），（6，2），所以方程组只有正数解的概率
………………………………………………………………………13分
18题（本题满分14分）
解：（1）因
，所以AD⊥平面CDE，ED是AE在平面CDE上的射影，∠AED=450，所以直线AE与平面CDE所成的角为450………………………………4分（2）解法一：如图，取AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系A―xyz.
则
………5分
设
，
得
…………9分
由
，得
，而
是平面CDE的一个法向量，且
平面CDE，
所以MN//平面CDE…………………………………………………………………………14分
解法二：设在翻转过程中，点M到平面CDE的距离为
，点N到平面CDE的距离为
，则
，同理
所以
，故MN//平面CDE……………………………………………………………14分
解法三：如图，过M作MQ//AD交ED于点Q，
过N作NP//AD交CD于点P，
连接MN和PQ…………………………………5分
设ㄓADE向上翻折的时间为t，则
，
………………7分
因
，点D是CE的中点，得
，四边形ABCD为正方形，ㄓADE为等腰三角形. 
……………………10分
在RtㄓEMQ和RtㄓDNP中，ME=ND，∠MEQ=∠NDP=450，所以RtㄓEMQ≌RtㄓDNP，
所以MQ//NP且MQ=NP，的四边形MNPQ为平行四边形，所以MN//PQ，因平面CDE，
平面CDE，所以MN//平面CDE……………………………………………………14分
19题（本题满分14分）
解：（1）由已知得
，解得：
……………………2分
所求椭圆方程为
………………………………………………4分
（2）因
，得
……………………………………7分
（3）因点
即A（3，0），设直线PQ方程为
………………8分
则由方程组
，消去y得：
设点
则
……………………10分
因
，得
，
又
，代入上式得
，故
解得：
，所求直线PQ方程为
……………………14分
20题（本题满分14分）
解：（1）函数f(x)的定义域为
，
…………2分
①当
时，
>0，f(x)在上递增.………………………………4分
②当
时，令
得
解得：
，因
（舍去），故在
上<0，f(x)递减；在
上，>0，f(x)递增.…………8分
（2）由（1）知
在
内递减，在
内递增.
……………………………………11分
故
，又因
故
，得
………………14分
21题（本题满分12分）
解：（1）
解法一：由
，可得
………………………………2分
所以
是首项为0，公差为1的等差数列.
所以
即
……………………4分
解法二：因
且
得
，
，
，
…………………………………………………………
由此可猜想数列
的通项公式为：…………2分
以下用数学归纳法证明：
①当n=1时，，等式成立；
②假设当n=k时，有
成立，那么当n=k+1时，
成立
所以，对于任意
，都有
成立……………………4分
（2）解：设
……①
……②
当
时，①
②得
…………6分
这时数列的前n项和
当
时，
，这时数列的前n项和
…………………………………………8分
（3）证明：因
得
，显然存在k=1，使得对任意，
有
成立；…………………………………………9分
①当n=1时，等号成立；
②当
时，因
所以，存在k=1，使得
成立……………12分
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