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    (2)是否存在数列的一个无穷等比子数列.使得它各项的和为?若存在.求出满足条件的子数列的通项公式,若不存在.请说明理由, 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    从数列{an}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列,,,…,…，称之为数列{an}的一个子数列.设数列{an}是一个公差不为零的等差数列，且a3=6,取n1=1,n2=3.

    (Ⅰ)若a1=4，求正整数m，使，,am成等比数列；

    (Ⅱ)若a1=4，那么{an}是否存在无穷等比子数列{}?请说明理由；

    (Ⅲ)若{an}存在等比子数列,,，求整数a1的值.

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    （2007•奉贤区一模）已知：函数f(x)=
    x
    ax+b
    (a，b∈R，ab≠0)    ，f(2)=
    2
    3
    ，f(x)=x    有唯一的根．
    （1）求a，b的值；
    （2）数列{an}对n≥2，n∈N总有an=f（an-1），a1=1；求证{
    1
    an
    }    为等差数列，并求出{an}的通项公式．
    （3）是否存在这样的数列{bn}满足：{bn}为{an}的子数列（即{bn}中的每一项都是{an}的项）且{bn}为无穷等比数列，它的各项和为
    1
    2
    ．若存在，找出一个符合条件的数列{bn}，写出它的通项公式；若不存在，说明理由．

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    对于数列{xn}，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列．某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为正整数a，公比为正整数q（q＞0）的无穷等比数列{an}的子数列问题．为此，他任取了其中三项ak，am，an（k＜m＜n）．
    （1）若ak，am，an（k＜m＜n）成等比数列，求k，m，n之间满足的等量关系；
    （2）他猜想：“在上述数列{an}中存在一个子数列{bn}是等差数列”，为此，他研究了ak+an与2an的大小关系，请你根据该同学的研究结果来判断上述猜想是否正确；
    （3）他又想：在首项为正整数a，公差为正整数d的无穷等差数列中是否存在成等比数列的子数列？请你就此问题写出一个正确命题，并加以证明．

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    定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列．
    已知无穷等比数列{an}的首项、公比均为数学公式．
    （1）试求无穷等比子数列{a3k-1}（k∈N*）各项的和；
    （2）是否存在数列{an}的一个无穷等比子数列，使得它各项的和为数学公式？若存在，求出满足条件的子数列的通项公式；若不存在，请说明理由；
    （3）试设计一个数学问题，研究：是否存在数列{an}的两个不同的无穷等比子数列，使得其各项和之间满足某种关系．请写出你的问题以及问题的研究过程和研究结论．

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    定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列．
    已知无穷等比数列{an}的首项、公比均为
    1
    2
    ．
    （1）试求无穷等比子数列{a3k-1}（k∈N*）各项的和；
    （2）是否存在数列{an}的一个无穷等比子数列，使得它各项的和为
    1
    7
    ？若存在，求出满足条件的子数列的通项公式；若不存在，请说明理由；
    （3）试设计一个数学问题，研究：是否存在数列{an}的两个不同的无穷等比子数列，使得其各项和之间满足某种关系．请写出你的问题以及问题的研究过程和研究结论．

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    一、填空题：（5’×11＝55’）

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    答案

    0

    (1,2)

    2

    题号

    7

    8

    9

    10

    11

     

    答案

    4

    8．3

    ②、③

     

    二、选择题：（4’×4＝16’）

    题号

    12

    13

    14

    15

    答案

    A

    C

    B

    20090116

    三、解答题：（12’＋14’＋15’＋16’＋22’＝79’）

    16．解：由条件，可得，故左焦点的坐标为．

    设为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故．

    因为，所以

    ,

    由二次函数性质可知，当时，取得最小值4．

    所以，的模的最小值为2，此时点坐标为．

    17．解：（1）当时，；

    当且时，；

    当时，；（不单独分析时的情况不扣分）

    当时，．

    （2）由（1）知：当时，集合中的元素的个数无限；

    当时，集合中的元素的个数有限，此时集合为有限集．

    因为，当且仅当时取等号，

    所以当时，集合的元素个数最少．

    此时，故集合．

    18．（本题满分15分，第1小题6分，第2小题9分）

    解：

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     （2）解：如图所示．由，，则面．

    所以，四棱锥的体积为

    ．

    19．解：（1）根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为12．

    由此可得，；

    由规律②可知，，

    ；

    又当时，，

    所以，，由条件是正整数，故取．

        综上可得，符合条件．

    （2） 解法一：由条件，，可得

    ，

    ，

    ，．

    因为，，所以当时，，

    故，即一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”．

    解法二：列表，用计算器可算得

    月份

    …

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    …

    人数

    …

    383

    463

    499

    482

    416

    319

    …

    故一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”．

    20．解：（1）依条件得： 则无穷等比数列各项的和为：

         ；

      （2）解法一：设此子数列的首项为，公比为，由条件得：，

    则，即    

    而  则 .

    所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它的首项、公比均为，

    其通项公式为，.

    解法二：由条件，可设此子数列的首项为，公比为．

    由………… ①

    又若，则对每一

    都有………… ②

    从①、②得；

    则；

    因而满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，此子数列是首项、公比均为无穷等比子

    数列，通项公式为，．

    （3）以下给出若干解答供参考，评分方法参考本小题阅卷说明：

    问题一：是否存在数列的两个不同的无穷等比子数列，使得它们各项的和互为倒数？若存在，求出所有满足条件的子数列；若不存在，说明理由．

    解：假设存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使它们的各项和之积为1。设这两个子数列的首项、公比分别为和，其中且或，则

    ，

    因为等式左边或为偶数，或为一个分数，而等式右边为两个奇数的乘积，还是一个奇数。故等式不可能成立。所以这样的两个子数列不存在。

    【以上解答属于层级3，可得设计分4分，解答分6分】

    问题二：是否存在数列的两个不同的无穷等比子数列，使得它们各项的和相等？若存在，求出所有满足条件的子数列；若不存在，说明理由．

    解：假设存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使它们的各项和相等。设这两个子数列的首项、公比分别为和，其中且或，则

    ………… ①

    若且，则①，矛盾；若且，则①

    ，矛盾；故必有且，不妨设，则

    ①………… ②

    1当时，②，等式左边是偶数，

    右边是奇数，矛盾；

    2当时，②

    或

    ，

    两个等式的左、右端的奇偶性均矛盾；

    综合可得，不存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得它们的各项和相等。

    【以上解答属于层级4，可得设计分5分，解答分7分】

    问题三：是否存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得其中一个数列的各项和等于另一个数列的各项和的倍？若存在，求出所有满足条件的子数列；若不存在，说明理由．

    解：假设存在满足条件的原数列的两个不同的无穷等比子数列。设这两个子数列的首项、公比分别为和，其中且或，则

    ，

    显然当时，上述等式成立。例如取，，得：

    第一个子数列：，各项和；第二个子数列：，

    各项和，有，因而存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得其中一个数列的各项和等于另一个数列的各项和的倍。

    【以上解答属层级3，可得设计分4分，解答分6分．若进一步分析完备性，可提高一个层级评分】

    问题四：是否存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得其中一个数列的各项和等于另一个数列的各项和的倍？并说明理由．解（略）：存在。

    问题五：是否存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得其中一个数列的各项和等于另一个数列的各项和的倍？并说明理由．解（略）：不存在．

    【以上问题四、问题五等都属于层级4的问题设计，可得设计分5分。解答分最高7分】

     


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