定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列．
已知无穷等比数列{a_n}的首项、公比均为．
（1）试求无穷等比子数列{a_3k-1}（k∈N^*）各项的和；
（2）是否存在数列{a_n}的一个无穷等比子数列，使得它各项的和为？若存在，求出满足条件的子数列的通项公式；若不存在，请说明理由；
（3）试设计一个数学问题，研究：是否存在数列{a_n}的两个不同的无穷等比子数列，使得其各项和之间满足某种关系．请写出你的问题以及问题的研究过程和研究结论．

20090116

答案

A

C

B

B

三、解答题：（12’＋14’＋15’＋16’＋22’＝79’）

16．（理）解：设为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故．

因为，所以

    推出．

依题意可知，当时，取得最小值．而，

故有，解得．

又点在椭圆的长轴上，即．故实数的取值范围是．

17．解：（1）当时，；

当且时，；

当时，；（不单独分析时的情况不扣分）

当时，．

（2）由（1）知：当时，集合中的元素的个数无限；

当时，集合中的元素的个数有限，此时集合为有限集．

因为，当且仅当时取等号，

所以当时，集合的元素个数最少．

此时，故集合．

18．（本题满分15分，第1小题7分，第2小题8分）

解：（1）如图，建立空间直角坐标系．不妨设．

依题意，可得点的坐标，，．

    于是，，．

   由，则异面直线与所成角的

大小为．

（2）解：连结． 由，

是的中点，得;

由面，面，得．

又，因此面

由直三棱柱的体积为．可得．

所以，四棱锥的体积为

．

19．解：（1）根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为12．

由此可得，；

由规律②可知，，

；

又当时，，

所以，，由条件是正整数，故取．

    综上可得，符合条件．

（2） 解法一：由条件，，可得

，

，

，．

因为，，所以当时，，

故，即一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”．

解法二：列表，用计算器可算得

月份

…

6

7

8

9

10

11

…

人数

…

383

463

499

482

416

319

…

故一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”．

20．解：（1）依条件得： 则无穷等比数列各项的和为：

     ；

  （2）解法一：设此子数列的首项为，公比为，由条件得：，

则，即    

而  则 .

所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它的首项、公比均为，

其通项公式为，.

解法二：由条件，可设此子数列的首项为，公比为．

由………… ①

又若，则对每一

都有………… ②

从①、②得；

则；

因而满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，此子数列是首项、公比均为无穷等比子

数列，通项公式为，．

（3）以下给出若干解答供参考，评分方法参考本小题阅卷说明：

问题一：是否存在数列的两个不同的无穷等比子数列，使得它们各项的和互为倒数？若存在，求出所有满足条件的子数列；若不存在，说明理由．

解：假设存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使它们的各项和之积为1。设这两个子数列的首项、公比分别为和，其中且或，则

，

因为等式左边或为偶数，或为一个分数，而等式右边为两个奇数的乘积，还是一个奇数。故等式不可能成立。所以这样的两个子数列不存在。

【以上解答属于层级3，可得设计分4分，解答分6分】

问题二：是否存在数列的两个不同的无穷等比子数列，使得它们各项的和相等？若存在，求出所有满足条件的子数列；若不存在，说明理由．

解：假设存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使它们的各项和相等。设这两个子数列的首项、公比分别为和，其中且或，则

………… ①

若且，则①，矛盾；若且，则①

，矛盾；故必有且，不妨设，则

①………… ②

1当时，②，等式左边是偶数，

右边是奇数，矛盾；

2当时，②

或

，

两个等式的左、右端的奇偶性均矛盾；

综合可得，不存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得它们的各项和相等。

【以上解答属于层级4，可得设计分5分，解答分7分】

问题三：是否存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得其中一个数列的各项和等于另一个数列的各项和的倍？若存在，求出所有满足条件的子数列；若不存在，说明理由．

解：假设存在满足条件的原数列的两个不同的无穷等比子数列。设这两个子数列的首项、公比分别为和，其中且或，则

，

显然当时，上述等式成立。例如取，，得：

第一个子数列：，各项和；第二个子数列：，

各项和，有，因而存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得其中一个数列的各项和等于另一个数列的各项和的倍。

【以上解答属层级3，可得设计分4分，解答分6分．若进一步分析完备性，可提高一个层级评分】

问题四：是否存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得其中一个数列的各项和等于另一个数列的各项和的倍？并说明理由．解（略）：存在。

问题五：是否存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得其中一个数列的各项和等于另一个数列的各项和的倍？并说明理由．解（略）：不存在．

【以上问题四、问题五等都属于层级4的问题设计，可得设计分5分。解答分最高7分】