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已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；
（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

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一、选择题

1―5 ADBAC    6―10 BCDCD    11―12 AB

二、填空题

13．24    14．24个    15．144     16．②

三、解答题

17．解：随机猜对问题A的概率p₁＝，随机猜对问题B的概率p₂＝.………1分

回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：

   （1）先回答问题A，再回答问题B.

参与者获奖金额ξ可取0，m，m＋n.，则

P（ξ＝0）＝1－p₁＝，P（ξ＝m）＝p₁（1－p₂）＝，P（ξ＝m＋n）＝p₁p₂＝.

Eξ＝0×＋m×＋（m＋n）×＝.                   ………5分

   （2）先回答问题B，再回答问题A.

参与者获奖金额η可取0，n，m＋n.，则

P（η＝0）＝1－p₂＝，P（η＝n）＝p₂（1－p₁）＝，P（η＝m＋n）＝p₂p₁＝.

Eη＝0×＋n×＋（m＋n）×＝.                     ………9分

Eξ－Eη＝（）－（）＝

于是，当＞时，Eξ＞Eη，先回答问题A，再回答问题B，获奖的期望值较大；

当＝时，Eξ＝Eη，两种顺序获奖的期望值相等；

当＜时，Eξ＜Eη，先回答问题B，再回答问题A，获奖的期望值较大. ………12分

18．解：（1）

  ………3分

∵角A为钝角，

    ……………………………4分

取值最小值，

其最小值为……………………6分

   （2）由………………8分

,

…………10分

在△中，由正弦定理得：   ……12分

19．（Ⅰ）证法一：取的中点G,连结FG、AG,

依题意可知：GF是的中位线，

则  GF∥且，

AE∥ 且,

所以GF∥AE,且GF=AE,即四边形AEFG为平行四边形，………3分

则EF∥AG,又AG平面，EF平面,

所以EF∥平面.                            ………6分

证法二：取DC的中点G，连结FG,GE.

∵∥，平面,∴FG∥平面.          

同理：∥平面,且,

∴平面EFG∥平面,                                    ………3分

平面,

∴EF∥平面.                                         ………6分

证法三：连结EC延长交AD于K，连结,E、F分别CK、CD₁的中点，

所以    FE∥D₁K                          ………3分

∵FE∥D₁K,平面，平面,∴EF∥平面.    ………6分

   （Ⅱ）解法一：⊥平面ABCD,过D在平面ABCD内作DH⊥EC于H，连接D₁H.

∵DH是D₁H在平面ABCD内的射影，∴D₁H⊥EC.

∴∠DHD₁为二面角的平面角。即∠DHD₁=.         ………8分

在△DHD₁中，tan∠DHD₁=，∴,=,

∴,∴,∴,∴. ………12分

解法二：以D为原点，AD、DC、DD₁分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系。

D（0，0，0），D₁（0，0，1），E（1，x，0）、C（0，2，0）。

平面DEC的法向量=(0,0,1),设为平面D₁EC的法向量，

则∴∴。  ………8分  

设二面角的大小为，∴cos=。

∴，∴∵<2，∴。           ………12分

20．解（Ⅰ）设，,椭圆的方程为.

∵直线平行于向量，

∴与=(3，1)共线

∴.

∴。                                ………2分

又∵、在椭圆上，∴∴，

∴=-1,                       ………4分

∴，∴，，∴.………6分

   （Ⅱ）设，因为直线AB过（，0），所以直线AB的方程为：，代入椭圆方程中得

∵∴，即，

∴，                      ………8分

由,

∴

∵，

∴

∴，

∵，，

又因为，∴。………10分

∴，

∴，即。

∴的轨迹方程.                  ………12分

21．解：（1）①直线PQ的斜率,

由，所以，

即直线PQ的斜率.                              …………2分

由，又，所以，

即图象上任一点切线的斜率k的取值范围为.     …………4分

②.                                              …………6分

   （2）当，根据（1）中②的结论，得到存在，，使得

，，                  …………9分

又为单调递减函数，所以，即

，而，所以

，

因为，所以x>0,  1-x>0

所以   .                               …………12分

22．证明：（Ⅰ）连接OD，∵OD=OA,∴∠OAD=∠ODA,

∵OC∥AD, ∴∠OAD=∠BOC, ∠DOC=∠ODA.

∴∠DOC=∠BOC,∵OD=OB,OC=OC,

∴△DOC≌△BOC. ∴∠ODC=∠OBC.                               …………2分

∵BC是⊙O的切线, ∴∠OBC=90°, ∴∠ODC=90°,

∴DC是⊙O的切线.                                           …………5分

   （Ⅱ）连接BD, ∵AB是⊙0的直径, ∴∠ADB=90°,∴∠OBC=∠ADB.

∵∠OAD=∠BOC. ∴△ADB∽△OBC. ∴,

∴                                                      …………10分

23．解：（Ⅰ）的参数方程为，

即。         …………5分

   （Ⅱ）由

可将，化简得。

将直线的参数方程代入圆方程得

∵，∴。  …………10分

24．证法一：∵，∴，又∵，

∴                ………5分

。    ………10分

证法二：设=，∵，

当时，；

当，＜0，是单调递减函数，………5分

∵，∴，

∴==；

==。

∴。          ………10分