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    (I)已知函数图象上的任意两点.且 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知函数f（x）=x+
    2a2x
    +alnx．
    （I）求f（x）的单调递增区间；
    （II）设a=1，g（x）=f′（x），问是否存在实数k，使得函数g（x）（均的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k？若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由．

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    已知函数f（x）=
    -x3+x2+bx+c，x＜1
    alnx，x≥1
    的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5．
    （I）求实数b、c的值；
    （Ⅱ）求f（x）在区间[-1，2]上的最大值；
    （Ⅲ）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴．若存在请证明，若不存在说明理由．

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    已知函数f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe1-x．
    （1）求函数g（x）在区间（0，e]上的值域T；
    （2）是否存在实数a，对任意给定的集合T中的元素t，在区间[1，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=t成立、若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；
    （3 ）函数f（x）图象上是否存在两点A（x1，y1）和B（x2，y2），使得割线AB的斜率恰好等于函数f（x）在AB中点M（x0，y0）处切线的斜率？请写出判断过程．

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    已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．
    （I）当a＞0时，求函数y=f（x）的极值；
    （II）若函数y=f（x）的图象上任意不同的两点连线的斜率都小于2，求证：-
    		6
    ＜a＜
    		6
    ；
    （III）对任意x0∈[0，1]，y=f（x）的图象在x=x0处的切线的斜率为k，求证：1≤a≤
    		3
    是|k|≤1成立的充要条件．

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    已知函数f（x）=
    -x2+x，(x≤1)
    lnx，(x＞1)
    ，
    （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
    （Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数f（x）图象上的两点且x1＜1，x2＞1，若直线PQ是函数f（x）图象的切线且P、Q都是切点，求证：3＜x2＜4；（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）
    （Ⅲ）设函数g（x）的定义域为D，区间I⊆D，若函数g（x）在I上可导，对任意的x0∈I，g（x）的图象在（x0，g（x0））处的切线为l，函数g（x）图象上所有的点都在直线l上方或直线l上，则称区间I为函数g（x）的“下线区间”．类比上面的定义，请你写出函数“上线区间”的定义，并根据你所给的定义，判断区间（-∞，
    3
    8
    ）是否是函数f（x）的“上线区间”（不必证明）．

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    一、选择题

    1―5 ADBAC    6―10 BCDCD    11―12 AB

    二、填空题

    13．24    14．24个    15．144     16．②

    三、解答题

    17．解：随机猜对问题A的概率p1＝，随机猜对问题B的概率p2＝.………1分

    回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：

       （1）先回答问题A，再回答问题B.

    参与者获奖金额ξ可取0，m，m＋n.，则

    P（ξ＝0）＝1－p1＝，P（ξ＝m）＝p1（1－p2）＝，P（ξ＝m＋n）＝p1p2＝.

    Eξ＝0×＋m×＋（m＋n）×＝.                   ………5分

       （2）先回答问题B，再回答问题A.

    参与者获奖金额η可取0，n，m＋n.，则

    P（η＝0）＝1－p2＝，P（η＝n）＝p2（1－p1）＝，P（η＝m＋n）＝p2p1＝.

    Eη＝0×＋n×＋（m＋n）×＝.                     ………9分

    Eξ－Eη＝（）－（）＝

    于是，当＞时，Eξ＞Eη，先回答问题A，再回答问题B，获奖的期望值较大；

    当＝时，Eξ＝Eη，两种顺序获奖的期望值相等；

    当＜时，Eξ＜Eη，先回答问题B，再回答问题A，获奖的期望值较大. ………12分

    18．解：（1）

      ………3分

    ∵角A为钝角，

        ……………………………4分

    取值最小值，

    其最小值为……………………6分

       （2）由………………8分

    ,

    …………10分

    在△中，由正弦定理得：   ……12分

    19．（Ⅰ）证法一：取的中点G,连结FG、AG,

    依题意可知：GF是的中位线，

    则  GF∥且，

    AE∥ 且,

    所以GF∥AE,且GF=AE,即四边形AEFG为平行四边形，………3分

    则EF∥AG,又AG平面，EF平面,

    所以EF∥平面.                            ………6分

    证法二：取DC的中点G，连结FG,GE.

    ∵∥，平面,∴FG∥平面.          

    同理：∥平面,且,

    ∴平面EFG∥平面,                                    ………3分

    平面,

    ∴EF∥平面.                                         ………6分

    证法三：连结EC延长交AD于K，连结,E、F分别CK、CD1的中点，

    所以    FE∥D1K                          ………3分

    ∵FE∥D1K,平面，平面,∴EF∥平面.    ………6分

       （Ⅱ）解法一：⊥平面ABCD,过D在平面ABCD内作DH⊥EC于H，连接D1H.

    ∵DH是D1H在平面ABCD内的射影，∴D1H⊥EC.

    ∴∠DHD1为二面角的平面角。即∠DHD1=.         ………8分

    在△DHD1中，tan∠DHD1=，∴,=,

    ∴,∴,∴,∴. ………12分

    解法二：以D为原点，AD、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系。

    D（0，0，0），D1（0，0，1），E（1，x，0）、C（0，2，0）。

    平面DEC的法向量=(0,0,1),设为平面D1EC的法向量，

    则∴∴。  ………8分  

    设二面角的大小为，∴cos=。

    ∴，∴∵<2，∴。           ………12分

    20．解（Ⅰ）设，,椭圆的方程为.

    ∵直线平行于向量，

    ∴与=(3，1)共线

    ∴.

    ∴。                                ………2分

    又∵、在椭圆上，∴∴，

    ∴=-1,                       ………4分

    ∴，∴，，∴.………6分

       （Ⅱ）设，因为直线AB过（，0），所以直线AB的方程为：，代入椭圆方程中得

    ∵∴，即，

    ∴，                      ………8分

    由,

    ∴

    ∵，

    ∴

    ∴，

    ∵，，

    又因为，∴。………10分

    ∴，

    ∴，即。

    ∴的轨迹方程.                  ………12分

    21．解：（1）①直线PQ的斜率,

    由，所以，

    即直线PQ的斜率.                              …………2分

    由，又，所以，

    即图象上任一点切线的斜率k的取值范围为.     …………4分

    ②.                                              …………6分

       （2）当，根据（1）中②的结论，得到存在，，使得

    ，，                  …………9分

    又为单调递减函数，所以，即

    ，而，所以

    ，

    因为，所以x>0,  1-x>0

    所以   .                               …………12分

    22．证明：（Ⅰ）连接OD，∵OD=OA,∴∠OAD=∠ODA,

    ∵OC∥AD, ∴∠OAD=∠BOC, ∠DOC=∠ODA.

    ∴∠DOC=∠BOC,∵OD=OB,OC=OC,

    ∴△DOC≌△BOC. ∴∠ODC=∠OBC.                               …………2分

    ∵BC是⊙O的切线, ∴∠OBC=90°, ∴∠ODC=90°,

    ∴DC是⊙O的切线.                                           …………5分

       （Ⅱ）连接BD, ∵AB是⊙0的直径, ∴∠ADB=90°,∴∠OBC=∠ADB.

    ∵∠OAD=∠BOC. ∴△ADB∽△OBC. ∴,

    ∴                                                      …………10分

    23．解：（Ⅰ）的参数方程为，

    即。         …………5分

       （Ⅱ）由

    可将，化简得。

    将直线的参数方程代入圆方程得

    ∵，∴。  …………10分

    24．证法一：∵，∴，又∵，

    ∴                ………5分

    。    ………10分

    证法二：设=，∵，

    当时，；

    当，＜0，是单调递减函数，………5分

    ∵，∴，

    ∴==；

    ==。

    ∴。          ………10分

     


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