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    (理)已知直线的极坐标方程为.则点到直线的距离为 . 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （1）已知函数f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值为m，实数a，b，c，n，p，q
    满足a2+b2+c2=n2+p2+q2=m．
    （Ⅰ）求m的值；     （Ⅱ）求证：
    n4
    a2
    +
    p4
    b2
    +
    q4
    c2
    ≥2    ．
    （2）已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
    x=2tcosθ
    y=2sinθ
    （t为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin(θ-
    π
    4
    )=2
    		2
    ．
    （Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；
    （Ⅱ）是否存在实数t，使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、B，且
    OA
    •
    OB
    =10    （其中O为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由．

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    （1）已知函数f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值为m，实数a，b，c，n，p，q
    满足a2+b2+c2=n2+p2+q2=m．
    （Ⅰ）求m的值；     （Ⅱ）求证：
    n4
    a2
    +
    p4
    b2
    +
    q4
    c2
    ≥2    ．
    （2）已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
    x=2tcosθ
    y=2sinθ
    （t为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin(θ-
    π
    4
    )=2
    		2
    ．
    （Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；
    （Ⅱ）是否存在实数t，使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、B，且
    OA
    •
    OB
    =10    （其中O为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由．

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    （1）已知函数f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值为m，实数a，b，c，n，p，q
    满足a2+b2+c2=n2+p2+q2=m．
    （Ⅰ）求m的值；     （Ⅱ）求证：．
    （2）已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为．
    （Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；
    （Ⅱ）是否存在实数t，使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、B，且（其中O为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由．

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    已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.

    （Ⅰ）求实数的值； 

    （Ⅱ）求在区间上的最大值；

    （Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由.

    【解析】第一问当时，，则。

    依题意得：，即    解得

    第二问当时，，令得，结合导数和函数之间的关系得到单调性的判定，得到极值和最值

    第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

    不妨设，则，显然

    ∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

    即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

    若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

    （Ⅰ）当时，，则。

    依题意得：，即    解得

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知，

    ①当时，，令得

    当变化时，的变化情况如下表：

    0

    —

    0

    +

    0

    —

    单调递减

    极小值

    单调递增

    极大值

    单调递减

    又，，。∴在上的最大值为2.

    ②当时, .当时, ,最大值为0；

    当时, 在上单调递增。∴在最大值为。

    综上，当时，即时，在区间上的最大值为2；

    当时，即时，在区间上的最大值为。

    （Ⅲ）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

    不妨设，则，显然

    ∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

    即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

    若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

    若，则代入（*）式得：

    即，而此方程无解，因此。此时，

    代入（*）式得：    即   （**）

    令 ，则

    ∴在上单调递增，  ∵     ∴,∴的取值范围是。

    ∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。

    因此，对任意给定的正实数，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上

     

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    已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
    x=2tcosθ
    y=2sinθ
    （t为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ-
    π
    4
    ）=2
    		2
    ．
    （Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；
    （Ⅱ）是否存在实数t，使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、B，且
    OA
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    OB
    =10    （其中O为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由．

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    一、             填空题（48分）

    1、4 2、（理）20（文） 3、  4、  5、  6、7、（理）（文）4    8、6  9、 10、  11、如 12、

    二、             选择题（16分）

    13、B    14、B   15、C   16、A

    三、             解答题（86分）

    17、（12分）（1），则……………………… （6分）

    （2）………………………………………（9分）

    …………………………………………………………（12分）

    18、（12分）（1）它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥

     

     

     

     

    …………………………………………………………（6分）

    （注：评分注意实线、虚线；垂直关系；长度比例等）

    （2）由题意，，则，

    ，

    ∴需要3个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体…（12分）

    19、（14分）

    （1）抛物线的焦点为（1，0） ……………………………………………………（2分）

    设椭圆方程为，则

    ∴椭圆方程为……………………………………………（6分）

    （2）设，则

      ………………（8分）

    ①     当时，，即时，；

    ②     当时，，即时，；

    综上，。……………………………………（14分）

    （注：也可设解答，参照以上解答相应评分）

    20、（14分）

    （1）设当天的旅游收入为L，由得

    ……………………………（2分）

    由，知…………………………………………（4分）

    ，得。

    即当天的旅游收入是20万到60万。……………………………………………（7分）

    （2）则每天的旅游收入上缴税收后不低于220000元

    由  （）得；

    由  （）得；

    ∴………………………………………………………………………（11分）

    代入可得 ∴

    即每天游客应不少于1540人。……………………………………………………（14分）

    21、（16分）

    （1）     由，得则故（4分）

    （2）     由，得即

    ∴，所以是不唯一的。……………………………………（10分）

    （3），，；

    ∴…………………………………………（12分）

    （文）………………………………………………………………………………（16分）

    （理）一般地，对任意复数，有。

    证明：设，

    ，

    ∴。…………………………………………………（16分）

    22、（18分）

    （1） ………………………………………………………………（6分）

    （2）由解得

    即

    解得…………………………………（12分）

    （3）     由，

    又，

    当时，，，

    ∴对于时，，命题成立。………………（14分）

    以下用数学归纳法证明对，且时，都有成立

    假设时命题成立，即，

    那么即时，命题也成立。

    ∴存在满足条件的区间。………………………………（18分）

     


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