如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=2，D是AB的中点．
（1）求AC₁与平面B₁BCC₁所成角的正切值；
（2）求证：AC₁∥平面B₁DC；
（3）已知E是A₁B₁的中点，点P为一动点，记PB₁=x．点P从E出发，沿着三棱柱的棱，按照E→A₁→A的路线运动到点A，求这一过程中三棱锥P-BCC₁的体积表达式V（x）．

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如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=2，D是AB的中点．
（1）求AC₁与平面B₁BCC₁所成角的正切值；
（2）求证：AC₁∥平面B₁DC；
（3）已知E是A₁B₁的中点，点P为一动点，记PB₁=x．点P从E出发，沿着三棱柱的棱，按照E→A₁→A的路线运动到点A，求这一过程中三棱锥P-BCC₁的体积表达式V（x）．

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文科数学参考答案和评分标准

1.B　2.C　3.D　4.C　5.B　6.C　7.B　8.D　9.D　10.A　11.D　12.C

13.1　14.2　15.2　16.

17.解：f(x)＝2sin(＋)?cos－1

＝sin x＋2cos²－1＝sin x＋cos x＝sin(x＋).4分

(1)令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，得2kπ－≤x≤2kπ＋.

∴f(x)的单调增区间是[2kπ－，2kπ＋](k∈Z).8分

(2)当x∈[0，)时，x＋∈[，)，则sin(x＋)有最小值，

此时f(x)_min＝1，故由题意得1－m>1⇒m<0.12分

18.解：(1)四人恰好买到同一支股票的概率P₁＝6××××＝.6分

(2)四人中有三人恰好买到同一支股票的概率P₂＝＝＝.

所以四人中至少有三人买到同一支股票的概率P＝P₁＋P₂＝＝.12分

19.解：(1)∵AC₁＝2，∴∠A₁AC＝60°.

又∵侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，作A₁O⊥AC于点O，则A₁O⊥平面ABC，2分

可得AO＝1，A₁O＝，∵正△ABC的面积S_△ABC＝3，

∴三棱柱ABC―A₁B₁C₁的体积V＝A₁O?S_△ABC＝?＝36分

(2)(法一)：以O为坐标原点，建立如图空间直角坐标系.

∵AO＝1，BO⊥AC.则A(0，－1,0)，B(，0,0)，A₁(0,0，)，C(0,1,0)，B₁(，1，).

∴＝(，1,0)，＝(，2，)，＝(0,2,0).

设平面AB₁C的法向量为n＝(x，y,1)，由

解得n＝(－1,0,1)，10分

由cos〈，n〉＝－得：棱A₁B₁与平面AB₁C所成角的正弦值为.12分

(2)(法二)：如图可得B₁C＝＝，△ABM中，得AM＝，∴AB₁＝，AC＝2，∴AC⊥B₁C.∴S△AB₁C＝.设B到平面AB₁C的距离是d，则有d＝＝＝.9分

设棱AB与平面AB₁C所成的角的大小是θ，则sin θ＝＝，又AB∥A₁B₁，

∴A₁B₁与平面AB₁C所成的角的大小是arcsin.12分

20.解：(1)设这二次函数为f(x)＝ax²＋bx(a≠0)，则f ′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x²－2x.2分

又因为点(n，S_n)(n∈N^*)均在函数y＝f(x)的图象上，所以S_n＝3n²－2n.3分

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝(3n²－2n)－[3(n－1)²－2(n－1)]＝6n－5.4分

当n＝1时，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，5分

所以，a_n＝6n－5(n∈N^*).6分

(2)由(1)得知b_n＝＝＝(－)，8分

故T_n＝_i＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－).10分

因此，要使(1－)<(n∈N^*)成立，

必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.12分

21.解：(1)F′(x)＝x³－3bx＋3b，设g(x)＝x³－3bx＋3b.则g′(x)＝3x²－3b＝3(x²－b).2分

依题意，方程g(x)＝0有三个不等实根，∴首先b>0，于是

x

(－∞，－)

－

(－，)

(，＋∞)

g′(x)

＋

0

－

0

＋

g(x)

?

极大值

?

极小值

?

∴g(x)_极大值＝g(－)＝2b＋3b>0，g(x)_极小值＝g()＝3b－2b.

依题意：g()<0.解得b>.6分

(2)依题意：g(x)≥0对∀x∈[1,2]恒成立.

①若b≤1时，则g′(x)≥0，x∈[1,2].此时g(x)_min＝g(1)＝1>0.符合.8分

②若1<b<4时，则g′(x)＝0得x＝.当x∈(1，)时，有g′(x)<0；

当x∈(，2)时，有g′(x)>0.

∴g(x)_min＝g()＝3b－2b≥0.解得1<b≤.10分

③若b≥4时，则g′(x)≤0.∴g(x)_min＝g(2)＝8－3b≥0⇒b≤，矛盾.

综上，b的取值范围是b≤.12分

22.解：(1)在Rt△F₁MF₂中，|OM|＝＝2知c＝2，2分

则解得a²＝6，b²＝2.∴椭圆方程为＋＝1.6分

(2)设N(m，n)(m≠0)，l为y＝x＋t，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

由y＝x＋t与＋＝1得(＋)x²＋tx＋－1＝0.8分

∴x₁＋x₂＝－mnt，x₁x₂＝m²(－1)，①10分

∴k_NA＋k_NB＝＋＝

＝，12分

将①式代入得k_NA＋k_NB＝.

又∵NA、NB与x轴围成的三角形是等腰三角形得k_NA＋k_NB＝0，

∴n²＝1代入＋＝1，得m²＝3，∴N(±，±1).14分