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    中集合.任取.函数在区间都是增函数.求的取值范围. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    (12分)集合A是由具备下列性质的函数f(x)组成的：

    ①函数f(x)的定义域是[0，＋∞)；

    ②函数f(x)的值域是[－2,4)；

    ③函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，试分别探究下列两小题：

    (1)判断函数f1(x)＝－2(x≥0)及f2(x)＝4－6·x(x≥0)是否属于集合A？并简要说明理由；

    (2)对于(1)中你认为属于集合A的函数f(x)，不等式f(x)＋f(x＋2)<2f(x＋1)是否对于任意的x≥0恒成立？若不成立，为什么？若成立，请说明你的结论．

     

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    若定义在区间D上的函数y=f(x)对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式［f(x1)+f(x2)］≤f()成立,则称函数y=f(x)为区间D上的凸函数;

    (1)证明定义在R上的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＜0)是凸函数;

    (2)对于(1)中的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＜0),若|f(1)|≤1,|f(2)|≤2,|f(3)|≤3,求|f(4)|取得最大值时函数y=f(x)的解析式.

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    仔细阅读下面问题的解法：

        设A=[0, 1],若不等式21-x-a＞0在A上有解,求实数a的取值范围。

        解：由已知可得  a ＜ 21-x

            令f(x)= 21-x ,∵不等式a ＜21-x在A上有解,

            ∴a ＜f(x)在A上的最大值.

            又f(x)在[0,1]上单调递减，f(x)max =f(0)=2.  ∴实数a的取值范围为a＜2.

    研究学习以上问题的解法，请解决下面的问题：

    (1)已知函数f(x)=x2+2x+3(-2≤x≤-1)，求f(x)的反函数及反函数的定义域A；

    (2)对于(1)中的A，设g(x)=，x∈A,试判断g(x)的单调性(写明理由，不必证明)；

    (3)若B ={x|＞2x+a–5}，且对于(1)中的A，A∩B≠F，求实数a的取值范围。

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    已知幂函数y＝f(x)＝ (p∈Z)在(0，＋∞)上是增函数，且是偶函数.

    (1)求p的值并写出相应的函数f(x)；

    (2)对于(1)中求得的函数f(x)，设函数g(x)＝－qf(f(x))＋(2q－1)f(x)＋1.

    试问：是否存在实数q(q＜0)，使得g(x)在区间(－∞，－4]上是减函数，且在(－4,0)上是增函数；若存在，请求出来，若不存在，说明理由.

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    (理)如图a所示，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ(0°＜θ＜90°)，且sinθ=，点P到平面α的距离PH=0．4(km)．沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用．从点O到山脚修路的造价为a万元／km，原有公路改建费用为万元／km．当山坡上公路长度为l km(1≤l≤2)时，其造价为(l2+1)a万元已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1．5(km)，OA=(km)．

    (1)在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小；

    (2)对于(1)中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小；

    (3)在AB上是否存在两个不同的点D′，E′，使沿折线．PD′E′O修建公路的总造价小于(2)中得到的最小总造价?证明你的结论．

    a)

    第19题图

    (文)如图b所示，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠ADC=90°，△ABC为等边三角形，且AA1=AD=DC=2．

    (1)求AC1与BC所成角的余弦值；

    (2)求二面角C1-BD-C的大小；

    (3)设M是BD上的点，当DM为何值时，D1M⊥平面A1C1D?并证明你的结论．

    第19题图

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    一、选择题(5分×12=60分)   

        B  B  D  D  C  B  B  D  D  C  A  A

    二、填空题(4分x 4=16分)

    13．80  14．32  15．  16．①③

    三、解答题(12分×5+14分=74分)

    17．解：(1)2分

            ……………………4分

             ∴的最小正周期为 …………………6分

    (2)∵成等比数列   ∴  又

    ∴  ……………………………………4分

    又∵     ∴       ……………………………………………………10分

      ……………………………………12分

    18．解：(1)设公差由成等比数列得 …………………1分

    ∴即 ∴舍去或     …………………………3分

    ∴           ………………………………………………4分

    ∴ ………………………………………………6分

    (2) ∵               ………………………………………………7分

    ∴…①      …………8分

     …………②       …………9分

    ①-②得：

                

    ∴                ………………………………………………12分

    19．解：(1)记“任取2张卡片，将卡片上的函数相加得到偶函数”为事件A，

                    ……………………………………………………4分

    (2)设符合题设条件，抽取次数恰为3的事件记为B，则

            ………………………………………………12分

    20．解：(1)连结    为正△ …1分

                      

                                           面3分

    面面          

     

    即点的位置在线段的四等分点且靠近处  ………………………………………6分

    (2)过作于，连

    由(1)知面(三垂线定理)

    ∴为二面角的平面角……9分

       

       

    在中，

    在中，

    ∴二面角的大小为     ………………………………………12分

    (说明：若用空间向量解，请参照给分)

    21．解：(1) 由得 ……2分

    ①当时，在内是增函数，故无最小值………………………3分

    ②当时，

     

     

     

     

    在处取得极小值    ………………………5分

       

    由                     解得：≤  ∴≤ …………6分

    ≥

    (2)由(1)知在区间上均为增函数

    又，故要在内为增函数

            ≤           ≥

    必须：                或                    ………………………………………10分

            ≤        ≤ 

    ∴≤或≥  ∴实数的取值范围是：…………………12分

    22．解：(1)如图，设为椭圆的下焦点，连结

    ∴ ∵∴…3分

    ∵  ∴ ………4分

    ∴的离心率为

     …………………………………………………………6分

    (2)∵，∴抛物线方程为：设点则 ∵

    ∴点处抛物线的切线斜率 ……………………………………………………8分

    则切线方程为：……………………………………………………9分

    又∵过点  ∴  ∴  ∴

    代入椭圆方程得：    ……………………………………………………11分

    ∴≥  ………………13分

                      

    当且仅当                 即           上式取等号

                        

    ∴此时椭圆的方程为：       ………………………………………………14分

     

     

     

     


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