如图所示，F₁，F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，A，B为两个顶点，已知椭圆C上的点到F₁，F₂两点的距离之和为4且b=

3

．
（1）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）过椭圆C的焦点F₂作AB的平行线交椭圆于P，Q两点，求△F₁PQ的面积．

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如图所示，已知圆E：x²+（y-1）²=4交x轴分别于A，B两点，交y轴的负半轴于点M，过点M作圆E的弦MN．
（1）若弦MN所在直线的斜率为2，求弦MN的长；
（2）若弦MN的中点恰好落在x轴上，求弦MN所在直线的方程；
（3）设弦MN上一点P（不含端点）满足PA，PO，PB成等比数列（其中O为坐标原点），试探求

PA

•

PB

的取值范围．

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如图所示，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁、F₂，短轴两个端点为A、B．已知|

OB

|、|

F1B

|、

|F1F2

|成等比数列，|

F1B

|-

|F1F2

|=2，与x轴不垂直的直线l与C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k₁、k₂，且k₁•k₂=

3

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标；
（Ⅲ）当弦MN的中点P落在四边形F₁AF₂B内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围．

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如图所示，F₁、F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，已知椭圆C上的点(1，

3

2

)到F₁、F₂两点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的焦点F₂作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求△F₁PQ的面积．

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如图所示，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁、F₂，短轴两个端点为A、B．已知|

OB

|、|

F1B

|、

|F1F2

|成等比数列，|

F1B

|-

|F1F2

|=2，与x轴不垂直的直线l与C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k₁、k₂，且k₁•k₂=

3

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．

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一、选择题(5分×12=60分)   

    B  B  D  D  C  B  B  D  D  C  A  A

二、填空题(4分x 4=16分)

13．80  14．32  15．  16．①③

三、解答题(12分×5+14分=74分)

17．解：(1)2分

        ……………………4分

         ∴的最小正周期为 …………………6分

(2)∵成等比数列   ∴  又

∴  ……………………………………4分

又∵     ∴       ……………………………………………………10分

  ……………………………………12分

18．解：(1)设公差由成等比数列得 …………………1分

∴即 ∴舍去或     …………………………3分

∴           ………………………………………………4分

∴ ………………………………………………6分

(2) ∵               ………………………………………………7分

∴…①      …………8分

 …………②       …………9分

①-②得：

∴                ………………………………………………12分

19．解：(1)记“任取2张卡片，将卡片上的函数相加得到偶函数”为事件A，

                ……………………………………………………4分

(2)设符合题设条件，抽取次数恰为3的事件记为B，则

        ………………………………………………12分

20．解：(1)连结    为正△ …1分

                                       面3分

面面          

即点的位置在线段的四等分点且靠近处  ………………………………………6分

(2)过作于，连

由(1)知面(三垂线定理)

∴为二面角的平面角……9分

在中，

在中，

∴二面角的大小为     ………………………………………12分

(说明：若用空间向量解，请参照给分)

21．解：(1) 由得 ……2分

①当时，在内是增函数，故无最小值………………………3分

②当时，

在处取得极小值    ………………………5分

由                     解得：≤  ∴≤ …………6分

≥

(2)由(1)知在区间上均为增函数

又，故要在内为增函数

        ≤           ≥

必须：                或                    ………………………………………10分

        ≤        ≤ 

∴≤或≥  ∴实数的取值范围是：…………………12分

22．解：(1)如图，设为椭圆的下焦点，连结

∴ ∵∴…3分

∵  ∴ ………4分

∴的离心率为

 …………………………………………………………6分

(2)∵，∴抛物线方程为：设点则 ∵

∴点处抛物线的切线斜率 ……………………………………………………8分

则切线方程为：……………………………………………………9分

又∵过点  ∴  ∴  ∴

代入椭圆方程得：    ……………………………………………………11分

∴≥  ………………13分

当且仅当                 即           上式取等号

∴此时椭圆的方程为：       ………………………………………………14分