设b＞0，椭圆方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1，抛物线方程为y=

1

8

x2+b，如图所示，过点F（0，b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G处的切线经过椭圆的右焦点F₁．
（1）求点G和点F₁的坐标（用b表示）；
（2）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（3）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

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已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω，它的离心率为，一个焦点和抛物线y²=-4x的焦点重合，过直线l：x=4上一点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别是A，B．
（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；
（Ⅱ）若在椭圆上的点（x，y）处的椭圆的切线方程是．求证：直线AB恒过定点C；并出求定点C的坐标．
（Ⅲ）是否存在实数λ，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|恒成立？（点C为直线AB恒过的定点）若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω，它的离心率为，一个焦点和抛物线y²=-4x的焦点重合，过直线l：x=4上一点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别是A，B．
（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；
（Ⅱ）若在椭圆上的点（x，y）处的椭圆的切线方程是．求证：直线AB恒过定点C；并出求定点C的坐标．
（Ⅲ）是否存在实数λ，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|恒成立？（点C为直线AB恒过的定点）若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω，它的离心率为，一个焦点和抛物线y²=-4x的焦点重合，过直线l：x=4上一点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别是A，B．
（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；
（Ⅱ）若在椭圆上的点（x，y）处的椭圆的切线方程是．求证：直线AB恒过定点C；并出求定点C的坐标．
（Ⅲ）是否存在实数λ，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|恒成立？（点C为直线AB恒过的定点）若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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一、选择题(5分×12=60分)   

    B  B  D  D  C  B  B  D  D  C  A  A

二、填空题(4分x 4=16分)

  13．0.1  14．63  15．  16．①③

三、解答题(12分×5+14分=74分)

17．解：(1)2分

        ……………………4分

         ∴的最小正周期为 …………………6分(2)∵成等比数列   ∴

∴≥       ………………………8分

∵   ∴≤即 ≤

∵   ∴≤         ………………………………………………10分

18．解：(1)设公差由成等比数列得 …………………1分

∴即 ∴舍去或     …………………………3分

∴           ………………………………………………4分

又              ………………………………………………5分

∴

       ………………………………………7分

(2)                ………………………………………………8分

当时，  ………………………………………10分

当时，   …………………………7分

19．解：(1)记“任取2张卡片，将卡片上的函数相加得到偶函数”为事件A，

                ……………………………………………………4分

(2)可能值为        ……………………………………………………………5分

      …………………………10分

∴     …………………………12分

20．解：(1)连结    为正△ …1分

                                       面3分

面面          

即点的位置在线段的四等分点且靠近处  ………………………………………6分(2)过作于，连

由(1)知面(三垂线定理)

∴为二面角的平面角……9分

在中，

在中，

∴二面角的大小为     ………………………………………12分

(说明：若用空间向量解，请参照给分)

21．解：(1)设，由取得

则……………………2分

∴…………………………12分

又∵为定值， 则        ………………5分

∵为定值，∴为定值。

(2)∵，∴抛物线方程为：设点则

由(1)知 则         ………………………………8分

又∵过点  ∴  ∴  ∴………………………………9分

代入椭圆方程得：

∴≥  ………………11分

当且仅当                 即           上式取等号

∴此时椭圆的方程为：             ………………………………………12分

22．解：(1)∵  ∴…1分

    设 则  ……2分

∴在上为减函数  又   

时，，∴ ∴在上是减函数………4分(2)①∵ ∴或时

 ∴…………………………………6分

又≤≤对一切恒成立 ∴≤≤        ……………8分

②显然当或时，不等式成立                 …………………………9分

当，原不等式等价于≥ ………10分

下面证明一个更强的不等式：≥…①

即≥……②亦即≥ …………………………11分

由(1) 知在上是减函数   又  ∴……12分

∴不等式②成立，从而①成立  又

∴＞

综合上面∴≤≤且≤≤时，原不等式成立     ……………………………14分