在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A（A在O右侧），顶点为B．艾思轲同学用一把宽3cm的矩形直尺对抛物线进行如下测量：（1）量得OA=3cm，（2）当把直尺的左边与抛物线的对称抽重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合时（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点C的刻度读数为4.5cm．
艾思轲同学将A的坐标记作（3，0），然后利用上述结论尝试完成下列各题：
（1）写出抛物线的对称轴；
（2）求出该抛物线的解析式；
（3）探究抛物线的对称轴上是否存在使△ACD周长最小的点D；
（4）然后又将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点A的右边（如图2），直尺的两边交x轴于点H，G，交抛物线于E，F，探究梯形EFGH的面积S与线段EF的长度是否存在函数关系．
同学：如上述（3）（4）结论存在，请你帮艾思轲同学一起完成，如上述（3）（4）结论不存在，请你告诉艾思轲同学结论不存在的理由．

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+2的图象过和，与轴交于点，与轴交于另一点，点是原点关于点的对称点，连结、，设点。

（1）求抛物线的解析式；
（2）连结、，①求的值；②将绕点旋转，在旋转过程中如图（2），线段和的比值会变吗？请说明理由；
（3）设点是直线上方的抛物线上一点，连结，以为边作图示一侧的正方形，随着点的运动，正方形的大小，位置也随之改变，当顶点或恰好落在轴上时，直接写出对应点的坐标。

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+2的图象过和，与轴交于点，与轴交于另一点，点是原点关于点的对称点，连结、，设点。

（1）求抛物线的解析式；

（2）连结、，①求的值；②将绕点旋转，在旋转过程中如图（2），线段和的比值会变吗？请说明理由；

（3）设点是直线上方的抛物线上一点，连结，以为边作图示一侧的正方形，随着点的运动，正方形的大小，位置也随之改变，当顶点或恰好落在轴上时，直接写出对应点的坐标。