如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（经过原点）与x轴相交于N点，直线y=kx+4与坐标轴分别相交于A、D两点，与抛物线相交于B（1，m）和C（2，2）两点．
（1）求直线与抛物线的表达式；
（2）求证：C点是△AOD的外心；
（3）若（1）中的抛物线，在x轴上方的部分，有一动点P（x，y），设∠PON=α．当sinα为何值时，△PON的面积有最大值？
（4）若P点保持（3）中运动路线，是否存在△PON，使得其面积等于△OCN面积的

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？若存在，求出动点P的位置；若不存在，请说出理由．

如图，已知经过原点的抛物线y=-2x²+4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P．
（1）求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状（不要求说理）；
（2）在x轴上是否存在两条相等的线段？若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由；
（3）设△CDP的面积为S，求S关于m的关系式．

如图，已知与x轴交于点A（1，0）和B（5，0）的抛物线l₁的顶点为C（3，4），抛物线l₂与l₁关于x轴对称，顶点为C′．
（1）求抛物线l₂的函数关系式；
（2）已知原点O，定D（0，4），l₂上的点P与l₁上的P′始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点D、O、P、P′为顶点的四边形是平行四边形？
（3）设l₂上的点M、N分别与l₁上的点M′、N′始终关于x轴对称．是否存在点M、N（M在N的左侧），使四边形MNN?M?是正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．