（2013•蓟县二模）已知函数f（x）=-

1

3

x3+

1

2

(2a+1)x2-2ax+1，其中a为实数．
（Ⅰ）当a≠

1

2

时，求函数f（x）的极大值点和极小值点；
（Ⅱ） 若对任意a∈（2，3）及x∈[1，3]时，恒有ta²-f（x）＞

3

2

成立，求实数t的取值范围．
（Ⅲ）已知g（x）=a²x²+ax+1，m（x）=

4

3

x3-(a2+

3

2

)x2+（2a+5）x-3，h（x）=f（x）+m（x），设函数q（x）=

g(x)，x≥0 h(x)，x＜0.

是否存在a，对任意给定的非零实数x₁，存在惟一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得q′（x₂）=q′（x₁）成立？若存在，求a的值；若不存，请说明理由．

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB中点．
（Ⅰ）证明CD⊥平面POC；
（Ⅱ）求二面角C-PD-O的平面角的余弦值．
（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在点M，使得BM∥平面POD，若存在试求出

CM

PC

，若不存往，清说明理由．