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一、选择题：本题考查基础知识和基本运算.第小题5分，满分50分.

1.C         2.B         3.A         4.D         5.C         6.A         7.A         8.D         9.B         10.B

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，第小题5分，满分25分.

11.10                    12.30°（或）                13.2                      14.0.98

15.（3，－2），（x＋2）²＋（y－3）²＝16（或x²＋y²＋4x－6y－3＝0）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设

A.            B.               C.               D.

解：，，选C

2. 的展开式中常数项是

  A.210                  B.            C.              D.-105

解：，令得

    所以常数项为

3.若集合

A. “”是“”的充分条件但不是必要条件

B. “”是“”的必要条件但不是充分条件

C. “”是“”的充要条件

D. “”既不是“”的充分条件也不是“”的必要条件

解：反之不然故选A

4.用与球心距离为1的平面去截面面积为，则球的体积为

  A.                B.             C.          D.

解：截面面积为截面圆半径为1，又与球心距离为球的半径是，

所以根据球的体积公式知，故D为正确答案． 

5.在平面直角坐标系中，满足不等式组的点的集合用阴影表示为下列图中的

解：在坐标系里画出图象，C为正确答案。也可取点坐标检验判断。

6.已知在R上是奇函数，且

   A.              B.                 C.            D.

解：由题设

7.将函数的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线则的一个可能取值是

  A.             B.             C.          D. 

解： 平移得到图象的解析式为,

对称轴方程，

把带入得，令，

8. 函数的定义域为

      A.                        B.

      C.                            D. 

解：函数的定义域必须满足条件：

9.从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为

A.100               B.110                C.120           D.180

解：10人中任选3人的组队方案有，没有女生的方案有，

所以符合要求的组队方案数为110种。

10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：

①②③④其中正确式子的序号是  

   A.①③               B.②③              C.①④           D.②④

解：由焦点到顶点的距离可知②正确，由椭圆的离心率知③正确，故应选Ｂ．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上.

11.一个公司共有1 000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是         .

解：由分层抽样方法可知从该部门抽取的工人数满足

12.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知则A＝       .

解：由余弦定理可得,

13.方程的实数解的个数为               .

解：画出与的图象有两个交点，故方程的实数解的个数为2个。

14.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是          .

解：两个闹钟都不准时响的概率是，所以至少有一准时响的概率是

15.圆的圆心坐标为              ， 和圆C关于直线对称的圆C′的普通方程是                    .

解：由题设，圆心坐标；关于直线对称的圆C′圆心为，半径相等，所以方程是

三、解答题：本大题共6分小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（本小题满12分）

   已知函数

  （Ⅰ）将函数化简成的形式，并指出的周期；

  （Ⅱ）求函数上的最大值和最小值

解：(Ⅰ).

      故的周期为｛k∈Z且k≠0｝.

(Ⅱ)由π≤x≤π，得.因为f(x)＝在[]上是减函数，在[]上是增函数.

故当x=时，f(x)有最小值－；而f(π)=－2，f(π)＝－＜－2，

所以当x=π时，f(x)有最大值－2.

17.（本小题满分12分）

   已知函数（m为常数，且m>0）有极大值9.

  （Ⅰ）求m的值；

  （Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线的切线，求此直线方程.

解：(Ⅰ) f’(x)＝3x²+2mx－m²=(x+m)(3x－m)=0,则x=－m或x=m,

当x变化时，f’(x)与f(x)的变化情况如下表：

x

(－∞,－m)

－m

(－m,)

(,+∞)

f’(x)

+

0

－

0

+

f (x)

极大值

极小值

从而可知，当x=－m时，函数f(x)取得极大值9，

即f(－m)＝－m³+m³+m³+1=9,∴m＝2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x³+2x²－4x+1,

依题意知f’(x)＝3x²＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－.

又f(－1)＝6，f(－)＝，

所以切线方程为y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(x＋)，

即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0.

18.（本小题满分12分）

   如图，在直三棱柱中，平面侧面

  （Ⅰ）求证：

  （Ⅱ）若，直线AC与平面所成的角为，二面角

解：(Ⅰ)证明：如右图，过点A在平面A₁ABB₁内作AD⊥A₁B于D，则

由平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁,且平面A₁BC∩侧面A₁ABB₁＝A₁B，

得AD⊥平面

A₁BC.又BC平面A₁BC

所以AD⊥BC.

因为三棱柱ABC－A₁B₁C₁是直三棱柱,

则AA₁⊥底面ABC,所以AA₁⊥BC.

又AA₁∩AD=A,从而BC⊥侧面A₁ABB₁,

又AB侧面A₁ABB₁，

故AB⊥BC.

   (Ⅱ)证法1：连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A₁BC所成的角，∠ABA₁就是二面角A₁－BC－A的颊角，即∠ACD＝θ，∠ABA₁=j.

      于是在RtΔADC中，sinθ=,在RtΔADA₁中，sin∠AA₁D＝,

      ∴sinθ=sin∠AA₁D,由于θ与∠AA₁D都是锐角，所以θ＝∠AA₁D.

      又由RtΔA₁AB知，∠AA₁D＋j＝∠AA₁B＋j＝，故θ＋j＝.

      证法2：由(Ⅰ)知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB₁所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设AB=c（c＜a＝，则B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(),

A₁(0,c,a)，于是，＝（0，c,a）,

,=(0,c,a)

设平面A₁BC的一个法向量为n=(x,y,z),

则由

可取n＝（0，－a，c），于是

n?=ac＞0，与n的夹角b为锐角,则b与q互为余角.

sinq=cosb=,

cosj=

所以sinq=cosj=sin(),又0＜q，j＜，所以q+j=.

19.（本不题满分12分）

    如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm^2,四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？

解：

解法1：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab=9000.   ①

广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0.

广告的面积S＝(a+20)(2b+25)

＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b

≥18500+2=18500+

当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b=,代入①式得a=120，从而b=75.

即当a=120，b=75时,S取得最小值24500.

故广告的高为140 cm,宽为175 cm时，可使广告的面积最小.

解法2：设广告的高为宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x－20，其中x＞20，y＞25

两栏面积之和为2(x－20),由此得y=

广告的面积S=xy=x()＝x,

整理得S=

因为x－20＞0，所以S≥2

当且仅当时等号成立，

此时有(x－20)²＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=+25,得y＝175，

即当x=140，y＝175时，S取得最小值24500，

故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.

20（本小题满分13分）

   已知双曲线的两个焦点为

   的曲线C上.

  （Ⅰ）求双曲线C的方程；

  （Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程

解：(Ⅰ)解法1：依题意，由a²+b²=4，得双曲线方程为（0＜a²＜4），

将点（3，）代入上式，得.解得a²=18（舍去）或a²＝2，

故所求双曲线方程为

解法2：依题意得，双曲线的半焦距c=2.

2a=|PF₁|－|PF₂|=

∴a²=2，b²=c²－a²=2.

∴双曲线C的方程为

(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，

得(1－k²)x²－4kx－6=0.

∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,

∴

∴k∈(－)∪(1,).

设E(x₁,y₁),F(x₂,y₂)，则由①式得x₁+x₂=于是

|EF|=

=

而原点O到直线l的距离d＝,

∴S_ΔOEF=

若S_ΔOEF＝，即解得k=±,

满足②.故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和

解法2：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理，

得(1－k²)x²－4kx－6＝0.                                                          ①

∵直线l与比曲线C相交于不同的两点E、F，

∴

∴k∈(－)∪(1,).                                                     ②

设E(x₁,y₁),F(x₂,y₂)，则由①式得

|x₁－x₂|＝.      ③

当E、F在同一支上时（如图1所示），

S_ΔOEF＝|S_ΔOQF－S_ΔOQE|=；

当E、F在不同支上时（如图2所示），

S_ΔOEF＝S_ΔOQF＋S_ΔOQE＝

综上得S_ΔOEF＝，于是

由|OQ|＝2及③式，得S_ΔOEF＝.

若S_ΔOEF＝2，即,解得k=±,满足②.

故满足条件的直线l有两条，方程分别为y=和y=

21.（本小题满分14分）

    已知数列,其中为实数，为正整数.

    （Ⅰ）证明：当

（Ⅱ）设为数列的前n项和，是否存在实数，使得对任意正整数n，都有     若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

解： (Ⅰ)证明：假设存在一个实数l，使｛a_n｝是等比数列，则有,即

（）²=²矛盾.

所以｛a_n｝不是等比数列.

（Ⅱ）证明：∵

又由上式知

故当数列｛b_n｝是以为首项，为公比的等比数列.

（Ⅲ）当由（Ⅱ）得于是

         当时，，从而上式仍成立.

         要使对任意正整数n , 都有

          即

          令

          当n为正奇数时，当n为正偶数时，

           于是可得

           综上所述，存在实数，使得对任意正整数，都有

          的取值范围为