如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边经过点C，另一直角边AB交于点E，我们知道，结论“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立．
（1）当∠CPD=30°时，求AE的长；
（2）是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．

如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为

2

-1，直线l：y=-x-

2

与坐标轴分别交于A、C两点，点B的坐标为（4，1），⊙B与x轴相切于点M．
（1）求点A的坐标及∠CAO的度数；
（2）⊙B以每秒1个单位长度的速度沿想x轴负方向平移，同时，直线l绕点A以每秒钟旋转30°的速度顺时针匀速旋转，当⊙B第一次与⊙O相切时，请判断直线l与⊙B的位置关系，并说明理由：

（3）如图2，过A、O、C三点作⊙O₁，点E是⊙O₁上任意一点，连接EC、EA、EO．
①若点E在劣弧OC上，试说明：EA-EC=

2

EO；
②若点E在优弧OAC上，①的结论中EC、EA、EO的关系式是否仍然成立？若成立，请你说明理由？若不成立，请你直接写出正确的结论．

如图，点B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），B₃（3，y₃）…，B_n（n，y_n）（n是正整数）依次为一次函数y=

1

4

x+

1

12

的图象上的点，点A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），A₃（x₃，0），…，A_n（x_n，0）（n是正整数）依次是x轴正半轴上的点，已知x₁=a（0＜a＜1），△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄…△A_nB_nA_n+1分别是以B₁，B₂，B₃，…，B_n为顶点的等腰三角形．
（1）写出B₂，B_n两点的坐标；
（2）求x₂，x₃（用含a的代数式表示）；分析图形中各等腰三角形底边长度之间的关系，写出你认为成立的两个结论；
（3）当a（0＜a＜1）变化时，在上述所有的等腰三角形中，是否存在直角三角形？若存在，求出相应的a的值；若不存在，请说明理由．

如图1，在等边△ABC中，AD是∠BAC的平分线，一个含有120°角的△MPN的顶点P（∠MPN=120°）与点D重合，一边与AB垂直于点E，另一边与AC交于点F．
（1）请猜想并写出AE+AF与AD之间满足的数量关系，不必证明．
（2）在图1的基础上，若△MPN绕着它的顶点P旋转，E、F仍然是△MPN的两边与AB、AC的交点，当三角形纸板的边不与AB垂直时，如图2，（1）中猜想是否仍然成立？说明理由．
（3）如图3，若△MPN绕着它的顶点P旋转，当△MPN的一边与AB的延长线相交，另一边与AC的反向延长线相交时，AE、AF与AD之间又满足怎样的数量关系？直接写出结论，不必证明．

如图1，A为⊙O的弦EF上的一点，OB是和这条弦垂直的半径，垂足为H，BA的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线与EF的延长线相交于点D．
（1）求证：DA=DC；
（2）当DF：EF=1：8，且DF=

2

时，求AB•AC的值；
（3）将图1中的EF所在直线往上平行移动到⊙O外，如图2的位置，使EF与OB，延长线垂直，垂足为H，A为EF上异于H的一点，且AH小于⊙O的半径，AB的延长线交⊙O于C，过C作⊙O的切线交EF于D．试猜想DA=DC是否仍然成立？并证明你的结论．