将（如图甲）直角梯形ABEF（图中数字表示对应线段的长度）沿直线CD折成直二面角，连接部分线段后围成一个空间几何体，如图乙所示．
（1）求异面直线BD与EF所成角的大小；
（2）求二面角D-BF-E的大小．
（3）若F、A、B、C、D这五个点在同一个球面上，求该球的表面积．

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将（如图甲）直角梯形ABEF（图中数字表示对应线段的长度）沿直线CD折成直二面角，连接部分线段后围成一个空间几何体，如图乙所示．
（1）求异面直线BD与EF所成角的大小；
（2）求二面角D-BF-E的大小．
（3）若F、A、B、C、D这五个点在同一个球面上，求该球的表面积．

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（2012•珠海二模）某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成绩小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；
（2）请估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数；
（3）若样本第一组中只有一个女生，其他都是男生，第五组则只有一个男生，其他都是女生，现从第一、五组中各抽2个同学组成一个实验组，设其中男同学的数量为ξ，求ξ的分布列和期望．

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1.A　2.D　3.C　4.B　5.B　6.A　7.B　8.C　9.A　10.C　11.C　12.D

13.(1－a)　14.2　15.　16.

17.解：(1)∵p，q共线，

∴(2－2sin A)(1＋sin A)＝(cos A＋sin A)(sin A－cos A)，1分

∴sin²A＝.2分

∵cos Acos Bcos C＞0，∴A为锐角.3分

∴sin A＝，∴A＝.5分

(2)y＝2sin²B＋cos＝2sin²B＋cos6分

＝2sin²B＋cos(－2B)＝1－cos 2B＋cos 2B＋sin 2B8分

＝sin 2B－cos 2B＋1＝sin(2B－)＋1.10分

∵B∈(0，)，∴2B－∈(－，).11分

∴当2B－＝时，即B＝时，y_max＝2.12分

18.解：(1)由题意可知ξ_甲～B(5，p₁)，

∴Dξ_甲＝5p₁(1－p₁)＝1分

⇒p－p₁＋＝03分

⇒p₁＝.4分

又?＝6，∴p₂＝.6分

(2)分两类情况：①共击中3次概率C()²()⁶?C()()＋C??C()²＝.9分

②共击中4次概率C()²?C()²＝.11分

所求概率为＋＝.12分

19.解：(1)由函数f(x)＝－x⁴＋x³＋ax²－2x－2在区间[－1,1]上是单调递减，在区间[1,2]上单调递增，所以x＝1取得极小值.1分

∴f′(1)＝0，∴－1＋2＋2a－2＝0，3分

∴a＝.4分

(2)由(1)知f(x)＝－x⁴＋x³＋x²－2x－2，

∴f′(x)＝－x³＋2x²＋x－2.5分

令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝1，x＝2.6分

∴函数f(x)有极大值f(－1)＝－，f(2)＝－，极小值f(1)＝－.8分

关于x的方程f(2^|x|－1)＝m(x≠0)有六个不同的实数解，令2^|x|－1＝t(t＞0)，

即关于t的方程f(t)＝m在t∈(0，＋∞)上有三个不同的实数解.9分

在t∈(0，＋∞)上函数f(t)的图象与直线y＝m的图象在t∈(0，＋∞)上有三个不同的交点，而f(t)的图象与f(x)的图象一致.11分

又f(0)＝－2，由数形结合可知，－＜m＜－.12分

20.解：(1)延长CG交AB于N，∵G是△ABC的重心，∴N是AB的中点.1分

∵∠ACB＝90°，∴CN＝AB＝6，∴CG＝CN＝4.2分

作ME∥GC交DC于E，∴∠EMB是异面直线GC与BM所成的角或补角.3分

∵M是DG的中点，ME＝GC＝2，

BE＝＝＝2.4分

过M作MH⊥GC于H，MH⊥平面ABC，∴MH＝2，

∴MB²＝MH²＋HB²＝4＋4＋36－2?2?6?cos 60°＝32，

∴cos∠EMB＝＝－.5分

∴异面直线GC与BM所成的角为arccos.6分

(2)＋＋＝－(＋＋)，

∵G是△ABC的重心，

∴＋＋＝3.7分

∴(＋＋)?＝－3?.8分

△DGC是等腰直角三角形，DG＝CD＝4.9分

设MG＝x，则MD＝4－x，

∴－3?＝－3||||cos 180°＝3?x?(4－x)10分

≤3()²＝24.11分

∴(＋＋)?的最大值是24.

(当且仅当M为GD的中点时取得).12分

(备注：以上各小题都可以通过建立空间直角坐标系求解，建议参照给分)

21.解：(1)由|PF₁|－|PF₂|＝2＜|F₁F₂|知，

点P的轨迹S是以F₁、F₂为焦点的双曲线右支.1分

由c＝2,2a＝2，∴b²＝3.2分

故轨迹S的方程为x²－＝1(x≥1).4分

(2)当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－2)，P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)与双曲线方程联立消y得(k²－3)x²－4k²x＋4k²＋3＝0.

∴解得k²＞3.5分

∵?＝(x₁－m)(x₂－m)＋y₁y₂

＝(x₁－m)(x₂－m)＋k²(x₁－2)(x₂－2)

＝(k²＋1)x₁x₂－(2k²＋m)(x₁＋x₂)＋m²＋4k²

＝＋m².6分

∵MP⊥MQ，∴?＝0，

故得3(1－m²)＋k²(m²－4m－5)＝0对任意的k²＞3恒成立，

∴解得m＝－1.7分

当m＝－1时，MP⊥MQ，

当直线l的斜率不存在时，由P(2,3)，Q(2，－3)及M(－1,0)知结论也成立.

综上，当m＝－1时，MP⊥MQ.8分

(3)由(1)知，存在M(－1,0)使得MP⊥MQ，

∴∠AEP＝∠MEF＝∠BQF，∴△PAE～△FBE，

∴＝.9分

|AE|?|FB|＝|AP|?|BQ|＝?＝|PF₂|?|OF₂|，

|PF₂|＝ex₁－a＝2x₁－1，|PF₂|＝ex₂－a＝2x₂－1，

∴|AE||FB|＝(2x₁－1)(2x₂－1)10分

＝[4x₁x₂－2(x₁＋x₂)＋1]＝x₁x₂－＋

＝－＋＝＋＝＋＞.

当斜率不存在时|AE|?|AF|＝，∴λ的最小值为.11分

此时，|PQ|＝6，|MF|＝3，S_△PMQ＝|MQ|?|PQ|＝9.12分

22.解：(1)由A_n＝(a_n－1)，A_n＋1＝(a_n＋1－1)，1分

∴a_n＋1＝(a_n＋1－a_n)，即＝3，2分

且a₁＝A₁＝(a₁－1)，

得a₁＝3.3分

∴数列{a_n}是以3为首项，3为公比的等比数列.4分

通项公式为a_n＝3ⁿ.5分

(2)∵2ⁿln a_n＝2ⁿln 3ⁿ＝(nln 3)?2ⁿ

＝2nln 3?2^n－1＝2nln 3(1＋1)^n－16分

＝2nln 3(C＋C＋…＋C)7分

＝2nln 3(nC＋nC＋nC＋…＋nC)8分

＝2nln 3(C＋2C＋…＋kC＋…nC)9分

＝(2ln 3)C＋(2ln 3)?2C＋…＋(2ln 3)?kC＋…＋(2ln 3)?nC.12分

故存在等差数列{c_n}，c_n＝(2ln 3)?n对一切正整数n∈N^*，c₁C＋c₂C＋…＋c_nC＝2ⁿln a_n都成立.14分