定义：a是不为1的有理数，我们把

1

1-a

称为a的衍生数．如：2的衍生数是

1

1-2

=-1，-1的衍生数是

1

1-(-1)

=

1

2

．已知a1=-

1

3

，a₂是a₁的衍生数，a₃是a₂的衍生数，a₄是a₃的衍生数，…，依此类推，则a₂₀₁₀=．

定义：a是不为1的有理数，我们把

1

1-a

称为a的差倒数．如：2的差倒数是

1

1-2

=-1，-1的差倒数是

1

1-(-1)

=

1

2

．已知a₁=-

1

3

，a₂是a₁的差倒数，a₃是a₂的差倒数，a₄是a₃的差倒数，…，依此类推，a₂₀₀₉=．

定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如

2

不能表示为两个互质的整数的商，所以，

2

是无理数．
可以这样证明：
设

2

=

a

b

，a与b 是互质的两个整数，且b≠0．
则2=

a2

b2

a²=2b²因为b是整数且不为0，所以，a是不为0的偶数，设a=2n，（n是整数），所以b²=2n²，所以b也是偶数，与a，b是互质的正整数矛盾．所以，

2

是无理数．仔细阅读上文，然后，请证明：

5

是无理数．