题目列表(包括答案和解析)
对于每项均是正整数的数列A:a1,a2,…,an,定义变换T1，T1将数列A变换成数列T1A．：n,a1-1,a2-1,…,an-1.
对于每项均是非负整数的数列B：b1,b2, …,bm,定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2（B）：又定义
S（B）=2（b1+2b2+…+mbm）+b21+b22+…+b2m.
设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak+1=T2(T1(Ak))(k=0,1,2, …)
（Ⅰ）如果数列A0为5，3，2，写出数列A1,A2；
（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T1A．）=SA．；
（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当k≥K时，S(Ak+1)=S(Ak).
对于每项均是非负整数的数列B：b1,b2, …,bm,定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2（B）：又定义
S（B）=2（b1+2b2+…+mbm）+b21+b22+…+b2m.
设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak+1=T2(T1(Ak))(k=0,1,2, …)
（Ⅰ）如果数列A0为5，3，2，写出数列A1,A2；
（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T1（A））=S（A）；
（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当k≥K时，S(Ak+1)=S(Ak).
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．
10．
11．5 10 12．
13．② 14．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（共13分）
解：（Ⅰ）
．
因为函数
的最小正周期为
，且
，
所以
，解得
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
．
因为
，
所以
，
所以
，
因此
，即的取值范围为
．
16．（共14分）
解法一：
（Ⅰ）取
中点
，连结
．
，
．
，
．
，
平面
．
平面，
．
（Ⅱ），
，
．
又
，
．
又
，即
，且
，
平面
．
取
中点
．连结
．
，
．
是
在平面内的射影，
．
是二面角
的平面角．
在
中，
，
，
，
．
二面角的大小为
．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知
平面，
平面
平面．
过
作
，垂足为
．
平面
平面
，
平面
．
的长即为点到平面的距离．
由（Ⅰ）知
，又，且
，
平面
．
平面，
．
在
中，
，
，
．
．
点到平面的距离为
．
解法二：
（Ⅰ），，
．
又，
．
，
平面．
平面，
．
（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系
．
则
．
设
．
，
，
．
取中点，连结．
，
，
，
．
是二面角的平面角．
，
，
，
．
二面角的大小为
．
（Ⅲ）
，
在平面内的射影为正
的中心，且
的长为点到平面的距离．
如（Ⅱ）建立空间直角坐标系．
，
点的坐标为
．
．
点到平面的距离为．
17．（共13分）
解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加
岗位服务为事件
，那么
，
即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是
．
（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么
，
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是
．
（Ⅲ）随机变量
可能取的值为1，2．事件“
”是指有两人同时参加岗位服务，
则
．
所以
，的分布列是
1
3
18．（共13分）
解：
．
令
，得
．
当
，即
时，
的变化情况如下表：
0
当
，即
时，的变化情况如下表：
0
所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减．
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
当
，即
时，
，所以函数在上单调递减，在上单调递减．
19．（共14分）
解：（Ⅰ）由题意得直线
的方程为
．
因为四边形
为菱形，所以
．
于是可设直线
的方程为
．
由
得
．
因为
在椭圆上，
所以
，解得
．
设两点坐标分别为
，
则
，
，
，
．
所以
．
所以的中点坐标为
．
由四边形为菱形可知，点在直线上，
所以
，解得
．
所以直线的方程为
，即
．
（Ⅱ）因为四边形为菱形，且
，
所以
．
所以菱形的面积
．
由（Ⅰ）可得
，
所以
．
所以当
时，菱形的面积取得最大值
．
20．（共13分）
（Ⅰ）解：
，
，
；
，
．
（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列为
，
则
为
，
，
，
，
，
从而
．
又
，
所以
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